拔高讲义第九章平面解析几何之第8讲曲线与方程教师版Word文档格式.docx
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诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”)
精彩PPT展示
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(√)
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.(×
)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.(×
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.(×
2.已知点F,直线l:
x=-,点B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( )
A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线
解析 由已知|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线.
答案 D
3.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹是________.
解析 ∵a+≥2=6(a>0).
当a=3时,a+=6,此时|PF1|+|PF2|=|F1F2|,
P点的轨迹为线段F1F2,
当a≠3,a>0时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|.
由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆.
答案 椭圆或线段
4.(2016·
枣庄一模)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________.
解析 设A(x,y),则D,∴|CD|==3,
化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,
∴A不能落在x轴上,即y≠0.
答案 (x-10)2+y2=36(y≠0)
5.(人教A选修2-1P37A4改编)已知⊙O方程为x2+y2=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A,B两点,则弦AB中点P的轨迹方程为__________.
解析 根据垂径定理知:
OP⊥PM,
所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分,
以OM为直径的圆的方程为
(x-2)2+y2=4,它与⊙O的交点为(1,±
),结合图形可知所求轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x<1).
答案 (x-2)2+y2=4(0≤x<1)
考点一 直接法求轨迹方程
【例1】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明:
直线l过定点.
(1)解
如图,设动圆圆心为O1(x,y),
由题意,|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,
则H是MN的中点.
∴|O1M|=,
又|O1A|=,
∴=,化简得y2=8x(x≠0).
当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)证明
由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
其中Δ=-32kb+64>
0.
由根与系数的关系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③
将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>
0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).
规律方法 利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.
②若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.
【训练1】在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足·
=-2,求点M的轨迹方程.
解
(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由题意,可得
|PF2|=|F1F2|,即=2c,
整理得2+-1=0,
得=-1(舍去)或=.所以e=.
(2)由
(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,
直线PF2的方程为y=(x-c).
A,B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得5x2-8cx=0.解得x1=0,x2=c,
得方程组的解
不妨设A,B(0,-c).
设点M的坐标为(x,y),则=,
=(x,y+c).
由y=(x-c),得c=x-y.
于是=,=(x,x),
由·
=-2,即·
x+·
x=-2,
化简得18x2-16xy-15=0.将y=代入c=x-y,
得c=>0,所以x>0.
因此,点M的轨迹方程是18x2-16xy-15=0(x>0).
考点二 定义法求轨迹方程
【例2】已知圆M:
(x+1)2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左,右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).
规律方法
(1)求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程.
(2)关键:
理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.
(3)利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
【训练2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
解
(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而=1,即p=2,所以轨迹Q的方程是x2=4y.
考点三 相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】设λ>0,
点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹
方程.
解 由=λ知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),
则x2-y0=λ(y-x2),即y0=(1+λ)x2-λy.①
再设B(x1,y1),由=λ,
即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),
解得②
将①式代入②式,消去y0,
得③
又点B在抛物线y=x2上,
所以y1=x,再将③式代入y1=x,得(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2,
(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,
2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0.
因λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0.
故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.
规律方法 “相关点法”的基本步骤:
(1)设点:
设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1);
(2)求关系式:
求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换:
将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.
【训练3】设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.
解 设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),
∴(x0,-y0)·
(1,-y0)=0,
∴x0+y=0.
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
∴即
∴-x+=0,
即y2=4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
[思想方法]
求轨迹方程的常用方法
1.直接法:
根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法:
若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程.
3.相关点法:
有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
4.参数法:
动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关,可用参数法求出轨迹方程.
[易错防范]
1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行:
一是方程的化简是否是同解变形;
二是是否符合题目的实际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
基础巩固题组
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( )
A.两条直线B.两条射线
C.两条线段D.一条直线和一条射线
解
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- 拔高 讲义 第九 平面 解析几何 曲线 方程 教师版
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