85 直线平面垂直的判定及性质Word格式.docx
- 文档编号:14303221
- 上传时间:2022-10-21
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:172.30KB
85 直线平面垂直的判定及性质Word格式.docx
《85 直线平面垂直的判定及性质Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《85 直线平面垂直的判定及性质Word格式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选B 根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件.
2.在如图所示的四个正方体中,能得出AB⊥CD的是( )
选A A选项中,∵CD⊥平面ABM,∴CD⊥AB;
B选项中,AB与CD成60°
角;
C选项中,AB与CD成45°
D选项中,∠MAB是AB与CD所成的角,其角的正切值为,故选A.
3.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是________.
由线面平行的性质定理知,该面必有一直线与已知直线平行.再根据“两平行线中一条垂直于一平面,另一条也垂直于该平面”得出两个平面垂直相交.
答案:
垂直相交
4.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
由线面垂直知,图中直角三角形为4个.
4
三、精研高考题点,提升备考知能
线面垂直的判定与性质
[典例] 如图,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=45°
,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD.
(1)求证:
AB∥平面PDC;
(2)求证:
BC⊥平面PAC.
[证明]
(1)∵AB∥CD,CD⊂平面PDC,
AB⊄平面PDC,
∴AB∥平面PDC.
(2)在直角梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形,
∴AE=DC=1,又AB=2,∴BE=1,
在Rt△BEC中,∠ABC=45°
,∴CE=BE=1,
CB=,
在Rt△ACE中,AC==,
∴AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC,
又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥PA,
而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
[方法指导]
证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理.
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.
(4)利用面面垂直的性质定理.
[变式训练]
如图,在△ABC中,∠ABC=90°
,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
BD⊥平面SAC.
证明:
(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=BD,又SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.
由
(1)知SD⊥BD,又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
面面垂直的判定与性质
[典例] 如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[证明]
(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以平面ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且平面ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E,
所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
1.面面垂直的证明方法
(1)定义法:
利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.
(2)定理法:
利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.
2.三种垂直关系的转化
3.面面垂直性质的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
[变式训练]
已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AD=AA1,点F为棱BB1的中点,点M为线段AC1的中点.
MF∥平面ABCD;
(2)求证:
平面AFC1⊥平面ACC1A1.
(1)如图,延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.
∵F是BB1的中点,∴F为C1N的中点,B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点,
∴MF∥AN.
又MF⊄平面ABCD,AN⊂平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
(2)连接BD,由题知A1A⊥平面ABCD,
又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC⊂平面ACC1A1,A1A⊂平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN,且DA=BN,
∴四边形DANB为平行四边形.
∴NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA⊂平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
直线、平面垂直的综合
[典例] 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=,N为AB上一点,且BN=.
(1)证明:
MN∥平面PAC.
(2)证明:
BC⊥平面POM.
(3)若MP⊥AP,求四棱锥PABMO的体积.
[解]
(1)证明:
因为BM=BN=,
所以=,所以MN∥AC.
又MN⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以MN∥平面PAC.
因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,则AO⊥OB.
因为∠BAD=,故OB=AB·
sin=1,
又因为BM=,且∠OBM=,
在△OBM中,
OM2=OB2+BM2-2OB·
BM·
cos∠OBM
=12+2-2×
1×
×
cos=.
所以OB2=OM2+BM2,即OM⊥BM,即OM⊥BC.
又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.
从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,
所以BC⊥平面POM.
(3)由
(2)得,OA=AB·
cos∠OAB=2×
设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.
由△POM也是直角三角形,
故PM2=PO2+OM2=a2+.
连接AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·
cos∠ABM=22+2-2×
2×
由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,
则PA2+PM2=AM2,
即a2+3+a2+=,
解得a=,a=-(舍去),即PO=.
此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·
AO·
OB+·
OM=×
1+×
=.
所以四棱锥PABMO的体积
VPABMO=·
S四边形ABMO·
PO=×
垂直关系综合问题的解题方法
(1)对于三种垂直的综合问题,一般通过做辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于垂直与平行结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)对于垂直与体积的综合问题,在求棱锥体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PB,且侧面PAB⊥平面ABCD,点E是AB的中点.
CD∥平面PAB;
PE⊥AD;
(3)若CA=CB,求证:
平面PEC⊥平面PAB.
(1)因为底面ABCD是菱形,所以CD∥AB.
又因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
所以CD∥平面PAB.
(2)因为PA=PB,点E是AB的中点,
所以PE⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABCD,
因为AD⊂平面ABCD,
所以PE⊥AD.
(3)因为CA=CB,点E是AB的中点,
所以CE⊥AB.
由
(2)知PE⊥AB.
又CE∩PE=E,
所以AB⊥平面PEC,
又因为AB⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PEC.
四、高考真题方向,比努力更重要
1.(2015·
浙江高考)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m
选A ∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.
2.(2013·
浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
选C 逐一判断可知,选项A中的m,n可以相交,也可以异面;
选项B中的α与β可以相交;
选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内.
3.(2015·
全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°
,AE⊥EC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
解:
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.
又BD∩BE=B,
故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°
,可得AG=GC=x,GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,
可得BE=x.
由已知得,三棱锥EACD的体积
V三棱锥EACD=×
·
AC·
GD·
BE=x3=,
故x=2.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 85 直线平面垂直的判定及性质 直线 平面 垂直 判定 性质