专题一 第2讲 基本初等函数函数与方程解析版Word文档下载推荐.docx
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g(x),故h(x)=-g(x).综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值.
(2)已知函数f(x)=ex+2(x<
0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.B.(-∞,e)
C.D.
【答案】 B
【解析】 由题意知,方程f(-x)-g(x)=0在(0,+∞)上有解,
即e-x+2-ln(x+a)-2=0在(0,+∞)上有解,
即函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在(0,+∞)上有交点.
函数y=ln(x+a)可以看作由y=lnx左右平移得到,
当a=0时,两函数有交点,
当a<
0时,向右平移,两函数总有交点,
当a>
0时,向左平移,由图可知,将函数y=lnx的图象向左平移到过点(0,1)时,两函数的图象在(0,+∞)上不再有交点,
把(0,1)代入y=ln(x+a),得1=lna,即a=e,∴a<
e.
【方法总结】
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>
1和0<
1两种情况讨论:
1时,两函数在定义域内都为增函数;
当0<
1时,两函数在定义域内都为减函数.
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化.
【拓展训练】1
(1)函数f(x)=ln(x2+2)-ex-1的大致图象可能是( )
【答案】 A
【解析】 当x→+∞时,f(x)→-∞,故排除D;
函数f(x)的定义域为R,且在R上连续,故排除B;
f(0)=ln2-e-1,由于ln2>
ln=,e-1<
,所以f(0)=ln2-e-1>
0,故排除C.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<
-的解集是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,-1]
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
【解析】 当x>
0时,f(x)=1-2-x>
0.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)<
-的解集和f(x)>
的解集关于原点对称,由1-2-x>
得2-x<
=2-1,
即x>
1,则f(x)<
-的解集是(-∞,-1).故选A.
考点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法:
(1)利用零点存在性定理判断法.
(2)代数法:
求方程f(x)=0的实数根.
(3)几何法:
对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点的判断
【典例】2
(1)(2020·
长沙调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有两个不同的零点x1,x2,则x1+x2等于( )
A.2B.2或2+
C.2或3D.2或3或2+
【答案】 D
【解析】 当x≤0时,
f′(x)=(x+1)ex,
当x<
-1时,f′(x)<
0,
故f(x)在(-∞,-1)上单调递减,
当-1<
x≤0时,f′(x)>
故f(x)在(-1,0]上单调递增,
所以x≤0时,f(x)的最小值为f(-1)=-.
又当x≥1时,f(x)=3-x,当0<
x<
1时,f(x)=x+1.
作出f(x)的图象,如图所示.因为g(x)=f(x)-m有两个不同的零点,所以方程f(x)=m有两个不同的根,等价于直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,
由图可知1<
m<
2或m=0或m=-.
若1<
2,则x1+x2=2;
若m=0,则x1+x2=3;
若m=-,则x1+x2=-1+3+=2+.
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,则关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0在区间(-2,6)上根的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】 对于任意的x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),
∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),
∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.
又∵当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,
且f(6)=1,则函数y=f(x)与y=log8(x+2)在区间(-2,6)上的图象如图所示,
根据图象可得y=f(x)与y=log8(x+2)在区间(-2,6)上有3个不同的交点,即f(x)-log8(x+2)=0在区间(-2,6)上有3个根.
【特点突破】
考向2 求参数的值或取值范围
【典例】3
(1)已知关于x的方程9-|x-2|-4·
3-|x-2|-a=0有实数根,则实数a的取值范围是________.
【答案】 [-3,0)
【解析】 设t=3-|x-2|(0<
t≤1),
由题意知a=t2-4t在(0,1]上有解,
又t2-4t=(t-2)2-4(0<
∴-3≤t2-4t<
∴实数a的取值范围是[-3,0).
(2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围为____________________.
【答案】 [-3,-1)∪[3,+∞)
【解析】 由题意得g(x)=
即g(x)=
如图所示,
因为g(x)恰有两个不同的零点,
即g(x)的图象与x轴有两个交点.
若当x≤a时,g(x)=x2+4x+3有两个零点,
则令x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1,
则当x>
a时,g(x)=3-x没有零点,所以a≥3.
若当x≤a时,g(x)=x2+4x+3有一个零点,
a时,g(x)=3-x必有一个零点,
即-3≤a<
-1,
综上所述,a∈[-3,-1)∪[3,+∞).
【方法总结】 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
【拓展训练】2
(1)已知偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=x2-3x(x≥0),若函数g(x)=则y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.1B.3C.2D.4
【解析】 作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图象可知两个函数有3个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)有3个零点.
(2)(多选)已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有8个不同的实根,则a的值可能为( )
A.-6B.8C.9D.12
【答案】 CD
【解析】 当a≤0时,f(x)仅有一个零点x=0,故f(f(x))=0有8个不同的实根不可能成立.当a>
0时,f(x)的图象如图所示,
当f(f(x))=0时,f1(x)=-2a,f2(x)=0,f3(x)=a.又f(f(x))=0有8个不同的实根,故f1(x)=
-2a有三个根,f2(x)=0有三个根,f3(x)=a有两个根,又x2-ax=2-,所以-2a>
-且a<
2a,解得a>
8且a>
0,综上可知,a>
8.
专题训练
一、单项选择题
1.(2020·
全国Ⅰ)设alog34=2,则4-a等于( )
A.B.C.D.
【解析】 方法一 因为alog34=2,
所以log34a=2,
所以4a=32=9,
所以4-a==.
方法二 因为alog34=2,
所以a==2log43=log432=log49,
所以4-a===9-1=.
2.函数f(x)=lnx+2x-6的零点一定位于区间( )
A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)
【解析】 函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域上连续且单调,
f
(2)=ln2+2×
2-6=ln2-2<
f(3)=ln3+2×
3-6=ln3>
故函数f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)上.
3.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax和g(x)=loga(x+2)(a>
0且a≠1)的大致图象可能为( )
【解析】 由题意知,当a>
0时,函数f(x)=2-ax为减函数.若0<
1,则函数f(x)=2-ax的零点x0=∈(2,+∞),且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为减函数;
若a>
1,则函数f(x)=2-ax的零点x0=∈(0,2),且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为增函数.故A正确.
4.(2020·
广东省揭阳三中模拟)已知a,b,c满足4a=6,b=,c3=,则( )
A.a<
b<
cB.b<
c<
a
C.c<
bD.c<
【解析】 4a=6>
4,a>
1,b==-2,c3=<
1,0<
1,故a>
c>
b.
5.(2020·
全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t的单位:
天)的Logistic模型:
I(t)=,其中K为最大确诊病典例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)( )
A.60B.63C.66D.69
【解析】 因为I(t)=,
所以当I(t*)=0.95K时,=0.95K,
即=0.95,
即1+=,
即=-1,
∴=19,
∴0.23(t*-53)=ln19,
∴t*=+53≈+53≈66.
6.(2020·
泉州模拟)若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是( )
A.1<
2B.0<
2,a≠1
C.0<
1D.a≥2
【解析】 令u(x)=x2-ax+1,函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,∴a>
1,且u(x)min>
0,∴Δ=a2-4<
∴1<
2,∴a的取值范围是1<
2.
7.(2020·
太原质检)已知函数f(x)=
(e为自然对数的底数),若函数g(x)=f(x)+kx恰好有两个零点,则实数k等于( )
A.-2eB.eC.-eD.2e
【解析】 g(x)=f(x)+kx=0,即f(x)=-kx,如图所示,画出函数y=f(x)和y=-kx的图象,
-2x2+4x+1=-kx,
即2x2-(4+k)x-1=0,
设方程的两根为x1,x2,
则Δ=(4+k)2+8>
0,且x1x2=-,
故g(x)在x<
0时有且仅有一个零点,
y=-kx与y=f(x
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