全国中考数学真题分类汇编47几何最值Word文档下载推荐.docx
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三、解答题
3.(2019山东威海,24,12分)如图,在正方形ABCD中,AB=10cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EF⊥AE,交直线BC于点F.E点从B点出发,沿着BD方向以每秒2cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止,设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒.
(1)求证:
CE=EF;
(2)求y与x之间关系的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(3)求△BEF面积的最大值.
【解题过程】
(1)证明:
过E作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB⊥AD,
∴MN⊥AD,MN⊥BC,
∴∠AME=∠FNE=90°
=∠NFE+∠FEN,
∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°
∴∠AEM=∠NFE,
∵∠DBC=45°
,∠BNE=90°
∴BN=EN=AM.
∴△AEM≌△EFN(AAS).
∴AE=EF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,
∵DE=DE,
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴AE=CE=EF.
(2)在Rt△BCD中,由勾股定理得:
BD==10,
∴0≤x≤5.
由题意,得BE=2x,
∴BN=EN=x.
由
(1)知:
△AEM≌△EFN,
∴ME=FN,
∵AB=MN=10,∴ME=FN=10-x,
如图
(1),当0≤x≤时,
∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x.
∴y=BF·
EN==-2x2+x(0≤x≤);
如图
(2),当<x≤时,
∴BF=BN-FN=x-(10-x)=x-10,
EN==2x2-x(≤x≤).
∴
(1)
(2)
(3)y=-2x2+5x=-2(x-)2+,
∵-2<0,
∴当x=时,y有最大值是;
即△BEF面积的最大值是;
当<x≤时,
y=2x2-x=-,
此时2>0,开口向上,对称轴为直线x=,
∵对称轴右侧,y随x的增大而增大,
∴当x=时,y最大值=50.
∴当x=时,△BEF面积的最大值是50.
【知识点】四边形综合运用,二次函数的解析式,二次函数的最值问题,三角形全等的判定.
4.(2019山东省威海市,题号25,分值12)
(1)方法选择
如图①,四边形ABCD是OO的内接四边形,连接AC,BD.AB=BC=AC.
求证:
BD=AD+CD.
小颖认为可用截长法证明:
在DB上截取DM=AD,连接AM..……
小军认为可用补短法证明:
延长CD至点N,使得DN=AD……
请你选择一种方法证明.
(2)类比探究
【探究1】如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.BC是⊙O的直径,AB=AC.试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系,并证明你的结论.
【探究2】如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是⊙O的直径,∠ABC=30°
,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是.
(3)拓展猜想
如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是O0的直径,BC:
AC:
AB=a:
b:
c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是.
【思路分析】
(1)选小颖的截长法,如图①,在DB上截取DM=AD,连接AM,由旋转全等得BM=CD,∴BD=MD+BM=AD+CD
(2)
【探究1】数量关系为:
BD=AD+CD
如图②,在DB上截取AD=AN,连接AN,可得△AND为等腰直角三角形,∴ND=AD,由旋转全等得BN=CD,∴BD=ND+BN=AD+CD
【探究2】数量关系为:
BD=2AD+CD
如图③,在DB上截取2AD=PD,连接AP,可得△APD为30°
的直角三角形,
由旋转相似得BP=CD,∴BD=PD+BP=2AD+CD
(3)拓展猜想数量关系为:
如图④,过A作AQ⊥AD交BD于Q,连接AQ,由旋转相似得,,
∴BQ=CD,BQ=AD,∴BD=PD+BP=AD+CD
(1)选小颖的截长法,如图①,在DB上截取DM=AD,连接AM,可得△AMD为等边三角形,可证△BAM≌△CAD(SAS)得BM=CD,∴BD=MD+BM=AD+CD
如图②,在DB上截取AD=AN,连接AN,可得△AND为等腰直角三角形,∴ND=AD,∠BAN=∠CAD,可证△BAN≌△CAD(SAS)得BN=CD,∴BD=ND+BN=AD+CD
∴,∠BAP=∠CAD,可证△BAP∽△CAD得BP=CD,∴BD=PD+BP=2AD+CD
如图④,过A作AQ⊥AD交BD于Q,连接AQ,可得∠BAQ=∠CAD,∠ABQ=∠ACD,∠ADQ=∠ACB,∠BAC=∠QAD∴△BAP∽△CAD,△ADQ∽△ACB∴,,
5..(2019·
益阳)如图,在半面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.
(1)当∠OAD=30°
时,求点C的坐标;
(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时,求OA的长;
(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cos∠OAD的值.
第26题图第26题备用图
(1)如图1,过点C作CE⊥y轴,垂足为E.
第26题答图1
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°
又∵∠OAD+∠ADO=90°
∴∠CDE=∠OAD=30°
.
在Rt△CED中,CE=CD=2,
∴DE=;
在Rt△OAD中,∠OAD=30°
∴OD=AD=3.
∴点C的坐标为(2,).
(2)∵M为AD的中点,
∴DM=3,.
又∵,
∴,
∴.
设OA=x,OD=y,
则,
即,
∴x=y.
将x=y代入得,
解得(不合题意,舍去),
∴OA的长为.
(3)OC的最大值为8.理由如下:
如图2,
第26题答图2
∵M为AD的中点,
∴OM=3,.
∴OC≤OM+CM=8,
当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8.
连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ON⊥AD,垂足为N.
∵∠CDM=∠ONM=90°
,∠CMD=∠OMN,
∴△CMD∽△OMN,
解得,,
在Rt△OAN中,
∵,
6.(2019·
衡阳)
如图,在等边△ABC中,AB=6cm,动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动.当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为t(s).过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.
(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形;
(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?
若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;
(3)求DE的长;
(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB′的值最小?
并求出最小值.
解:
(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°
,∵BP⊥PQ,∴2BP=BQ即2(6-t)=6+t,解得t=2.∴当t为2时,△BPQ为直角三角形;
(2)存在.作射线BF,∵PE⊥AC,∴AE=0.5t.∵四边形CQFE是平行四边形,∴FQ=EC=6-0.5t,∵BF平分∠ABC,∴∠FBQ+∠BQF=90°
.∵BQ=2FQ,BQ=6+t,∴6+t=2(6-0.5t),解得t=3.
(3)过点P作PG∥CQ交AC于点G,则△APG是等边三角形.∵BP⊥PQ,∴EG=AG.∵PG∥CQ,∴∠PGD=∠QCD,∵∠PDG=∠QDC,PG=PA=CG=t,∴△PGD≌△QCD.∴GD=GC.∴DE=AC=3.
(4)连接AM,∵△ABC为等边三角形,点M是BC的中点,∴BM=3.由勾股定理,得AM=3.由折叠,得BM′=3.当A、B′、M在同一直线上时,AB′的值最小,此时AB′=3-3.
过点B′作B′H⊥AP于点H,则cos30°
=,即=,解得t=9-3.
∴t为9-3时,AB′的值最小,最小值为3-3.
7.(2019·
重庆B卷)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点Q.
(1)如图1,连接AC,BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴交BC于点E,作PF⊥BC于点F,过点B作BG∥AC交y轴于点G.点H,K分别在对称轴和y轴上运动,连接PH,HK.当△PEF的周长最大时,求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标.
(2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移,当抛物线经过原点O时停止平移,此时抛物线顶点记作D’,N为直线DQ上一点,连接点D’,C,N,△D’CN能否构成等腰三角形?
若能,直接写出满足条件的点N的坐标;
若不能,请说明理由.
(1)∵与x轴交于A,B两点,
∴当y=0时,即,∴,即A(-2,0),B(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,∵C(0,),B(4,0),
∴,∴,∴直线BC的解析式为.
设点
∵PE∥y轴且点E在直线BC上,∴∠PEF=∠OCE,
∵PF⊥BC,∴∠PFE=∠COB=90°
,∴△PEF∽△BCO,
设△PEF的周长为,△BCO的周长为,
则,∵B(4,0),C(0,),∴BC=,∴,
∴当m=2时,取最大值此时点P的坐标为(2,),
∵A(-2,0),C(0,),∴∠ACO=30°
,∠CAO=60°
∵BG∥AC,∴.∠BGD=30°
,∠OBG=60°
,∴G(0,),
直线BG解析式为,直线PM解析式为,
过点G作GN⊥BG,过点P作PM⊥GN于点M,
如图1,此时,点H为PM与对称轴的交点,K为PM与y轴的交点,点K与点O重合,
则KM=OM=KG,PH+HK+KG的最小值为线段PM的长.(此问题是胡不归问题).
解法一:
(作一线三直角利用相似求解)如图2,
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