北京市西城区届 高三 数学 第一次模拟考试试题 文Word下载.docx
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5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为,其三视图
中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是()
6.若实数,满足条件则的最大值为()
7.设等比数列的前项和为.则“”是“”的()
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
8.已知集合,其中,且
.则中所有元素之和是()
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量,.若,则实数_____.
10.某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒
与秒之间.将测试结果分成组:
,,
,,,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为
,那么成绩在的学生人数是_____.
11.函数的最小正周期为_____.
12.圆的圆心到直线的距离是_____.
13.已知函数则的零点是_____;
的值域是_____.
14.如图,已知抛物线及两点和,其中.过,分别作
轴的垂线,交抛物线于,两点,直线与轴交于点,此时就称,
确定了.依此类推,可由,确定,.记,.
给出下列三个结论:
①数列是递减数列;
②对,;
③若,,则.
其中,所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在△中,已知.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,△的面积是,求.
16.(本小题满分13分)
某校高一年级开设研究性学习课程,()班和()班报名参加的人数分别是和.现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从()班抽取了名同学.
(Ⅰ)求研究性学习小组的人数;
(Ⅱ)规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动,每次随机抽取小组中名同学发言.求次发言的学生恰好来自不同班级的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)若,求证:
;
(Ⅲ)求四面体体积的最大值.
18.(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,一个焦点为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线交椭圆于,两点,若点,都在以点为圆心
的圆上,求的值.
19.(本小题满分13分)
如图,抛物线与轴交于两点,点在抛物线上(点在第一象限),∥.记,梯形面积为.
(Ⅰ)求面积以为自变量的函数式;
(Ⅱ)若,其中为常数,且,求的最大值.
20.(本小题满分13分)
对于数列,定义“变换”:
将数列变换成数列,其中,且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.
(Ⅰ)试问经过不断的“变换”能否结束?
若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;
若不能,说明理由;
(Ⅱ)设,.若,且的各项之和为.
(ⅰ)求,;
(ⅱ)若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值,并
说明理由.
数学(文科)参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C;
2.D;
3.D;
4.B;
5.A;
6.B;
7.C;
8.C.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.;
10.;
11.;
12.;
13.和,;
14.①②③.
注:
13题第一问2分,第二问3分;
14题少选1个序号给2分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由,得.………………3分
所以原式化为.………………4分
因为,所以,所以.………………6分
因为,所以.………………7分
(Ⅱ)解:
由余弦定理,
得.………………9分
因为,,
所以.………………11分
因为,所以.………………13分
设从()班抽取的人数为,
依题意得,所以,
研究性学习小组的人数为.………………5分
(Ⅱ)设研究性学习小组中()班的人为,()班的人为.
次交流活动中,每次随机抽取名同学发言的基本事件为:
,,,,,
,,,,,共种.………………9分
次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:
,,,,,,,,,
,,,共种.………………12分
所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为.………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为四边形,都是矩形,
所以∥∥,.
所以四边形是平行四边形,……………2分
所以∥,………………3分
因为平面,
所以∥平面.………………4分
(Ⅱ)证明:
连接,设.
因为平面平面,且,
所以平面,………………5分
所以.………………6分
又,所以四边形为正方形,所以.………………7分
所以平面,………………8分
所以.………………9分
(Ⅲ)解:
设,则,其中.
由(Ⅰ)得平面,
所以四面体的体积为.………………11分
所以.………………13分
当且仅当,即时,四面体的体积最大.………………14分
设椭圆的半焦距为,则.………………1分
由,得,从而.………………4分
所以,椭圆的方程为.………………5分
设.
将直线的方程代入椭圆的方程,
消去得.………………7分
由,得,且.…………9分
设线段的中点为,则,.……………10分由点,都在以点为圆心的圆上,得,………………11分
即,解得,符合题意.………………13分
所以.………………14分
依题意,点的横坐标为,点的纵坐标为.………………1分
点的横坐标满足方程,解得,舍去.……………2分
所以.………4分
由点在第一象限,得.
所以关于的函数式为,.………………5分
由及,得.………………6分
记,
则.………………8分
令,得.………………9分
①若,即时,与的变化情况如下:
↗
极大值
↘
所以,当时,取得最大值,且最大值为.………………11分
②若,即时,恒成立,
所以,的最大值为.………………13分
综上,时,的最大值为;
时,的最大值为.
数列不能结束,各数列依次为;
….
以下重复出现,所以不会出现所有项均为的情形.………………3分
(ⅰ)因为的各项之和为,且,所以为的最大项,
所以最大,即,或.………………5分
当时,可得
由,得,即,故.……………7分
当时,同理可得,.………………8分
(ⅱ)方法一:
由,则经过次“变换”得到的数列分别为:
.
由此可见,经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列,与数列
“结构”完全相同,但最大项减少12.
因为,
所以,数列经过次“变换”后得到的数列为.
接下来经过“变换”后得到的数列分别为:
,……
从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小.
所以经过次“变换”得到的数列各项和最小,的最小值为.
………………13分
方法二:
若一个数列有三项,且最小项为,较大两项相差,则称此数列与数列“结
构相同”.
若数列的三项为,则无论其顺序如何,经过“变换”得到的数列的
三项为(不考虑顺序).
所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同,除外其余各项
减少,各项和减少.
因此,数列经过次“变换”一定得到各项为(不考虑顺序)
的数列.
通过列举,不难发现各项为的数列,无论顺序如何,经过“变换”得到的数列会
重复出现,各项和不再减少.
所以,至少通过次“变换”,得到的数列各项和最小,故的最小值为.
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