江苏省届高考数学二轮复习第23讲 高考题中的解答题解法Word下载.docx
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②f(x)的最小值为-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=f(n),求数列{an}的通项公式.
4.如图,在半径为、圆心角为60°
的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点N、M在OB上,设矩形PNMQ的面积为y.
(1)按下列要求写出函数的关系式:
①设PN=x,将y表示成x的函数关系式;
②设∠POB=θ,将y表示成θ的函数关系式;
(2)请你选用
(1)中的一个函数关系式,求出y的最大值.
【例1】 已知集合A={x|x2-(3a+3)x+2(3a+1)<
0,x∈R},集合B={x|<
0,x∈R}.
(1)当4B时,求实数a的取值范围;
(2)求使BA的实数a的取值范围.
【例2】 如图,已知圆C:
x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:
x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:
对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
【例3】 对于数列{an},定义{Δan}为数列{an}的“一阶差分数列”,其中Δan=an+1-an(n∈N*).
(1)若数列{an}的通项公式an=n2-n(n∈N*),求{Δan}的通项公式;
(2)若数列{an}的首项是1,且满足Δan-an=2n.
①证明数列为等差数列;
②设{an}的前n项和为Sn,求Sn.
【例4】 函数f(x)=lnx-(x>
0,a∈R).
(1)试求f(x)的单调区间;
(2)当a>
0时,求证:
函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a=1;
(3)求证:
不等式-<
对于x∈(1,2)恒成立.
1.(2011·
重庆)设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2满足f=f(0),求函数f(x)在上的最大值和最小值.
2.(2011·
江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.
(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
3.(2011·
安徽)设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
4.(2011·
湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:
对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.
(2011·
苏锡常镇调研)(本小题满分16分)已知函数f(x)=x(x-1)2,x>
0.
(1)求f(x)的极值;
(2)设0<
a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数G(a)=的最小值;
(3)设函数g(x)=lnx-2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值.
解:
(1)f′(x)=(3x-1)(x-1),(1分)
令f′(x)=0,得x1=,x2=1.
f(x),f′(x)随x的变化情况如下表:
x
1
(1,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
增
极大值
减
极小值
∴当x=时,有极大值f=;
(2分)
当x=1时,有极小值f
(1)=0.(3分)
(2)易知f(x)在上递增,递减,(1,+∞)递增.(4分)
∴当0<a≤时,G(a)==(a-1)2≥,(5分)
特别当a=时,有G(a)=;
(6分)
当<a≤1时,F(a)=f,则G(a)==≥=.(7分)
故对任意的0<a≤1,G(a)的最小值为.(8分)
(3)由已知得h1(x)=x+m-g(x)=2x2-3x-lnx+m-t≥0在(0,+∞)上恒成立,
由h′1(x)=,(9分)
得x∈(0,1)时,h′1(x)<0,x∈(1,+∞)时,h′1(x)>0,
故x=1时,h1(x)取极小值,也是最小值.
从而当且仅当h1
(1)=m-t-1≥0,m≥t+1时,h1(x)≥0在(0,+∞)恒成立.(11分)
同样的,h2(x)=f(x)-x-m=x3-2x2-m≥0,
在(0,+∞)恒成立.
由h′2(x)=3x(x-)得x∈时,h′2(x)<0,x∈(,+∞)时,h′2(x)>0,
故x=时,h2(x)取极小值,也是最小值.
从而当且仅当h2=--m≥0,m≤-时,
h2(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.(13分)
∴t+1≤m≤-.(14分)
由m的唯一性知t=-,此时m=-.(16分)
第23讲 高考题中的解答题解法
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若sin=2cosA,求A的值;
(2)若cosA=,b=3c,求sinC的值.
点拨:
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力,是C级要求,但属容易题.解题说理要准确、完整,过程要合理、严谨.
(1)由题意知sinAcos+cosAsin=2cosA,从而sinA=cosA,所以
cosA≠0,tanA=.因为0<A<π,所以A=.
(2)由cosA=,b=3c,及a2=b2+c2-2bccosA,得b2=a2+c2,所以△ABC是直角三角形,且B=,所以sinC=cosA=.
2.如图所示的是自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,高0.5米,CD=2a米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);
(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?
求出这个最大面积.
(1)①0≤x<时,由平面几何知识,得=.
∴MN=2(2a-1)x+1,S=f(x)=-(2a-1)x2+(a-1)x+.
②<x<a+时,S=f(x)=·
2·
=·
.
∴S=f(x)=
(2)①0≤x<时,S=f(x)=-(2a-1)x2+(a-1)x+.
∵a>,∴-=<0,∴<.
(i)<a≤1,当x=0时,[f(x)]max=f(0)=.
(ii)a>1,当x=时,[f(x)]max=f=.
②<x<a+时,
S=f(x)=·
=
≤=a2,
等号成立2=a2-2x=(a+1)∈.
∴当x=(a+1)时,[f(x)]max=.
(i)<a≤1时,∵-=,
∴<a≤时,当x=0,[f(x)]max=f(0)=,
<a≤1时,当x=(a+1),[f(x)]max=.
(ii)a>1时,a2-=a2>0.
当x=(a+1)时,[f(x)]max=.
综上,<a≤时,当x=0时,[f(x)]max=f(0)=,即MN与AB之间的距离为0米时,三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为平方米.a>时;
当x=(a+1)时,[f(x)]max=,即MN与AB之间的距离为x=(a+1)米时,三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为a2平方米.
基础训练
1.解:
(1)f(x)=2sin2x-2sinxcosx+1+m
=1-cos2x-sin2x+1+m=-2sin+2+m.
由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
得y=f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当≤x≤π时,≤2x+≤,∴-1≤sin≤,
∴1+m≤f(x)≤4+m,∴解得m=1.
2.证明:
由题意可知,△PAC为等腰直角三角形,△ABC为等边三角形.
(1)因为O为边AC的中点,所以BO⊥AC.
因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO平面ABC,所以BO⊥面PAC.
因为PA平面PAC,所以BO⊥PA.
在等腰三角形PAC内,O,E为所在边的中点,
所以OE⊥PA.
又BO∩OE=O,所以PA⊥平面EBO.
(2)连AF交BE于Q,连QO.因为E、F、O分别为边PA、PB、AC的中点,所以=2,且Q是△PAB的重心,于是=2=,所以FG∥QO.因为FG平面EBO,QO平面EBO,所以FG∥平面EBO.
(注:
第
(2)小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH∥平面EBO证得)
3.解:
(1)由题知:
解得故f(x)=x2-x.
(2)Tn=a1a2…an=,
Tn-1=a1a2…an-1=(n≥2),
∴an==n-1(n≥2).
又a1=T1=1满足上式,所以an=n-1(n∈N*).
4.解:
(1)①ON=,OM=x,MN=-x,
∴y=x,x∈.
②PN=sinθ,ON=cosθ,OM=×
sinθ=sinθ,
MN=ON-OM=cosθ
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