基于MATLAB科学计算线性方程组Word文档格式.docx

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考虑如下线性方程组：

1）第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘

－１加到第三个方程的两端，得

２）　第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得

3）从上述方程组的第三个方程依此求解，得

３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法

在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为

注：

数值稳定的算法

高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。

列主元素消去法的基本思想：

在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）,使乘数.

列主元素消去法的步骤：

设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算，得到矩阵

.

第步计算如下：

对于，

（1）选列主元素，即确定使；

（2）如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算；

（3）如果，则交换第行与第行元素；

（4）消元计算：

（5）回代计算：

完全主元素消去法即是每次选主元时，依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素，然后交换两行、两列，再进行消元计算.

完全主元素消去法的步骤：

设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算，得到矩阵

第步计算选主元素的范围为，即确定使.

（1）选主元素，即确定使；

如果，则交换第列与第列元素；

（5）回代求解.

【注】完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但完全主元消去法解方程组，在选主元素时要化费较多的计算机时间，行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同，实际计算时，用列主元消去法即可满足一定的精度要求.

对同一数值问题，用不同的计算方法，所得结果的精度大不一样.对于一个算法来说，如果计算过程中舍入误差能得到控制，对计算结果影响较小，则称此算法是数值稳定的；

否则，如果计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大，则称此算法为数值不稳定的.因此，我们解数值问题时，应选择和使用数值稳定的算法，否则如果使用数值不稳定的算法，就可能导致计算失败.

４）高斯列主元素消去法的MATLAB实现：

，意为．

例LinearEquiation02.m

openLinearEquiation02

LinearEquiation02

一个典型的例子:

Hilbert矩阵:

注:

非奇异矩阵的条件数:

５）ＬＵ分解　（ＬＵ　Factorization）（高斯消去法、Doolittle分解）

　　高斯消去法的消元过程，从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵Ａ，且乘积的结果为上三角矩阵，即

（２）

可通过直接用A元素计算矩阵A的三角分解矩阵L和U.这种直接计算A的三角分解的方法有实用上的好处.下面利用矩阵乘法规则来确定三角矩阵L和U.

第一步：

利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素.由矩阵乘法，

，

得到

.（3.7）

设已经计算出U的第1至r-1行元素，L的第1至r-1列元素，现在要计算U的第r行元素及L的第r列元素.

第r步：

利用A的第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素.由矩阵乘法，有

得U的第r行元素为

.（3.8）

由

得

.（3.9）

例5用LU分解法求解方程组

解对系数矩阵A进行LU分解，

由，有.

，.

因此

解方程组，得.

6）LU分解的MATLAB实现：

或

例

A=rand（5）;

[L,U，P]=lu（A）

[L,U,P]=lu（A）

L=P\L

当是主对角占优的三对角矩阵时，基于Doolittle分解可得到解这类方程组的追赶法。

２、Cholesky分解（CholeskyFactorization）

　　　　对称正定矩阵的Cholesky分解和以为系数矩阵地的线性方程组的改进的平方根法：

设阶方程组，是对称正定矩阵（PositiveDefiniteMatrix），则有三角分解

再将分解为

则.

（1）对称正定矩阵有唯一的分解

这是由于，，且对称阵，则有

再利用三角分解的唯一性，得.因此，对称正定矩阵有唯一的分解.

（2）是正定对角阵（即）

由于对称正定的充要条件是对称正定，其中是阶可逆方阵.取，就推知是正定对角阵.

因此的对角元素，记，其中

（3）乔莱斯基（Cholesky）分解

将记为，则称为Cholesky分解.利用Cholesky直接分解公式，推导出的解方程组方法，称为Cholesky方法或平方根法.

（4）解方程组的平方根法（Cholesky方法）

由Cholesky分解，有

.（3.10）

利用矩阵乘法，逐步确定的第行元素.

由（当时，），有分解公式：

对于

（3.11）

将对称正定矩阵作Cholesky分解后，则解方程组就转化为解两个三角方程组.

例7用Cholesky方法解方程组

解对系数矩阵作Cholesky分解得到

解，得.

cholesky分解的MATLAB的实现：

L=chol（A）。

3、追赶法

在许多实际问题中，如，常微分方程两点边值问题、三次样条插值方法等，往往遇到线性方程组的求解，其中

.（3.13）

称具有公式（3.13）形式的系数矩阵为三对角阵,称相应的线性方程组为三对角方程组（TridiagonalLinearSystems）.具有这种形式的方程组在实际问题中是经常遇到的，而且往往是对角占优（DiagonallyDominant）的.满足条件：

这类方程组的解存在唯一（非奇异），可以直接利用高斯消去法或直接分解法，而其解答可以用极其简单的递推公式表示出来，即下面介绍的追赶法.追赶法通常是数值稳定的.

对作LU分解（Doolitle分解），可以发现L、U具有非常简单的形式.

由矩阵乘积，得

比较等式两端，得到

（3.14）

因为上述分解，则方程组的求解转化为解两个简单的三角方程组和，从而得到求解方程组的算法公式.

先解，即

.（3.15）

再解，即

.（3.16）

这种把三对角方程组的解用递推公式（3.14）、（3.15）、（3.16）表示出来的方法形象化地叫做追赶法，其中（3.14）、（3.15）是关于下标由小到大的递推公式称为追的过程，而（16）却是下标由大到小的递推公式称为赶的过程，一追一赶构成了求解的追赶法.

例9用追赶法解三对角方程组

解系数矩阵分解得到

调用函数LU_Factorization.m解例9.输入

A=[4-10;

-14-1;

0-14];

b=[1;

3;

2];

[x,L,U,index]=LU_Factorization（A,b）

得到方程组的解及相应的LU分解矩阵：

x=0.5179L=1.000000U=4.0000-1.00000

1.0714-0.25001.0000003.7500-1.0000

0.76790-0.26671.0000003.7333

为了对线性方程组的直接法作出误差分析，为了讨论方程组迭代法的收敛性，需要对向量和矩阵的大小进行度量，进而引入了

　　范数━

用于度量“量”的大小的概念

1、引言

实数的绝对值：

是数轴上的点到原点的距离；

复数的模：

是平面上的点到原点的距离；

还有其他刻画复数大小的方法（准则）：

如

１）；

２）

　向量的内积、范数及维空间距离的度量

令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质：

１、共轭对称性：

，；

２、非负性：

，，；

３、线性性：

，，

；

则称是上的一个向量内积（innerproduct），向量空间上的向量内积通常用符号表示，定义了内积的向量空间称为内积空间（innerproductspace）。

记做表示。

例１．１　，，，容易验证函数

　　　　　　　　　（１．１）

定义了上的一个内积。

１、非负性：

２、齐次性：

３、三角不等式：

则称是上的一个向量范数（norm），向量空间上的范数通常用符号表示。

定义了范数的向量空间称为赋范空间（normedspace）。

例１．２　，，，容易验证函数

　　　　　　　（１．２）

定义了上的一个范数，这样定义的范数称为由内积（１．１）诱导的范数。

例１．３　上常用的向量范数：

１、１—范数：

２、２—范数：

３、—范数：

令是一数域，是上的向量空间，如果实值函数有如下性质：

１、对称性：

，，

，；

则称是上的一个距离（函数）（distancefunction）或度量（metric），定义了度量的向量空间称为度量空间（metricspace），记做表示。

例１．4　上常用的（由范数诱导的）度量：

，

１、１—范数诱导的度量：

２、２—范数诱导的度量：

３、—范数诱导的度量：

２　矩阵的范数

矩阵是线性映射（当时为线性变换）的一种表现形式。

因此，除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外，更为基本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数（operatornorm），以的情况为例：

　　　　　　　　　　（１．３）

其中（１．３）右端的范数是赋范空间中向量的范数，由矩阵算子范数的定义（１．３）容易证明（对映像大小的估计）不等式：

，　，　（１．４）

称满足不等式（１．４）的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。

例１．５　常用的矩阵范数：

１、１—范数（列范数）：

；

２、２—范数（谱范数）：

３、—范数（行范数）：

上述三种范数是如下定义的矩阵—范数的特例：

４、由向量的—范数：

，，定义：

　　　　　　　　（１．５）

５、Ｆ—范数（Frobenius）: