高中数学数列求和方法文档格式.doc
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可进行分组即:
前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和
(注:
)
(3)裂项法:
如,求Sn,常用的裂项,;
(4)错位相减法:
其特点是cn=anbn其中{an}是等差,{bn}是等比如:
求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn-1注意讨论x,
(5)倒序求和:
等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。
如求证:
Cn0+3Cn1+5Cn2+…
+(2n—1)Cnn=(n+1)2n
►名题归类例释
错位相减法:
例1求数例1,3a,5a2,7a3,…(2n-1)an-1,…(a≠1)的前n项和.
解:
因Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,
(1)
(1)×
a得
aSn=a+3a2+5a3+…(2n-3)an-1+(2n-1)an,
(2)
两式相减得
(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an
=2(1+a+a2+a3+…+an-1)-(2n-1)an-1
=
所以:
裂项求和法:
例2求和:
解:
,
分部求和法:
例3已知等差数列的首项为1,前10项的和为145,求
首先由
则
倒序相加法:
例4设数列是公差为,且首项为的等差数列,求和:
因为
(1)
(2)
(1)+
(2)得
常规题型:
例1.已知数列中,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:
数列是等比数列;
⑵设数列,求证:
数列是等差数列;
(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),
即a=4a-4a.
a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b ①
已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②
由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·
2.
例2.设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用表示a;
(2)
例3.数列中,且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求;
(1)由题意,,为等差数列,设公差为,
由题意得,.
(2)若,
时,
故
►连线高考
填空题:
1、(湖南卷)若数列满足:
,2,3….则 .
数列满足:
,2,3…,该数列为公比为2的等比数列,
∴.
2、(山东卷)设为等差数列的前n项和,=14,S10-=30,则S9= .
设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意得
,联立解得a1=2,d=1,所以S9=
3、(浙江卷)设为等差数列的前项和,若,则公差为 (用数字作答)。
解析:
设首项为,公差为,由题得
4、(重庆卷)在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=_________.
在数列中,若,∴,即{}是以为首项,2为公比的等比数列,,所以该数列的通项.
解答题:
5、(北京卷)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
解:
(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.
因此,{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3…
(Ⅱ)由得即
由①+②得-7d<11。
即d>-。
由①+③得13d≤-1,即d≤-
于是-<d≤-
又d∈Z,故d=-1
将④代入①②得10<a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以,所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
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