高中数学--极限Word下载.doc
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(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则;
会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
§
13.极限知识要点
1.⑴第一数学归纳法:
①证明当取第一个时结论正确;
②假设当()时,结论正确,证明当时,结论成立.
⑵第二数学归纳法:
设是一个与正整数有关的命题,如果
①当()时,成立;
②假设当()时,成立,推得时,也成立.
那么,根据①②对一切自然数时,都成立.
2.⑴数列极限的表示方法:
①
②当时,.
⑵几个常用极限:
①(为常数)
②
③对于任意实常数,
当时,
当时,若a=1,则;
若,则不存在
当时,不存在
⑶数列极限的四则运算法则:
如果,那么
③
特别地,如果C是常数,那么
.
⑷数列极限的应用:
求无穷数列的各项和,特别地,当时,无穷等比数列的各项和为.
(化循环小数为分数方法同上式)
注:
并不是每一个无穷数列都有极限.
3.函数极限;
⑴当自变量无限趋近于常数(但不等于)时,如果函数无限趋进于一个常数,就是说当趋近于时,函数的极限为.记作或当时,.
当时,是否存在极限与在处是否定义无关,因为并不要求.(当然,在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.)
如在处无定义,但存在,因为在处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则:
()
①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限:
②(0<<1);
(>1)
④,()
4.函数的连续性:
⑴如果函数f(x),g(x)在某一点连续,那么函数在点处都连续.
⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件:
①函数f(x)在点处有定义;
②存在;
③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值,即.
⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定:
如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时,则称为函数f(x)的不连续点.
①f(x)在点处没有定义,即不存在;
②不存在;
③存在,但.
5.零点定理,介值定理,夹逼定理:
⑴零点定理:
设函数在闭区间上连续,且.那么在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点(<<)使.
⑵介值定理:
设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同函数值,,那么对于之间任意的一个数,在开区间内至少有一点,使得(<<).
⑶夹逼定理:
设当时,有≤≤,且,则必有
:
表示以为的极限,则就无限趋近于零.(为最小整数)
6.几个常用极限:
③为常数)
④
⑤为常数)
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