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教学难点
直线与双曲线的位置关系的判定和综合性题目的解决
教学过程
一、复习预习
1.直线的方程,曲线与方程;
2.圆锥曲线轨迹方程的的求法;
3.双曲线的定义和性质;
4.直线与圆锥曲线的位置关系和判定。
二、知识讲解
考点1双曲线的概念
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>
0,c>
0;
(1)当a<
c时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当a>
c时,P点不存在.
考点2双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-=1
(a>
0,b>
0)
图 形
性 质
范 围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:
坐标轴
对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±
x
离心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
三、例题精析
【例题1】
双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离是________.
【答案】16
【解析】由已知,双曲线中,a=8,b=6,所以c=10,由于点P到右焦点的距离为4,4<a+c=18,所以点P在双曲线右支上.由双曲线定义,可知点P到左焦点的距离为2×
8+4=20,设点P到双曲线左准线的距离为d,再根据双曲线第二定义,有==,故d=16.
【例题2】
设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( ).
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
【答案】A
【解析】由题意知椭圆C1的焦点坐标为:
F1(-5,0),F2(5,0).
设曲线C2上的一点P.则||PF1|-|PF2||=8.
由双曲线的定义知:
a=4,b=3.
故曲线C2的标准方程为-=1.
【例题3】
已知椭圆C1:
+=1(a>b>0)与双曲线C2:
x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( ).
A.a2=B.a2=13C.b2=D.b2=2
【答案】C
【解析】依题意a2-b2=5,根据对称性,不妨取一条渐近线y=2x,由,解得x=±
,故被椭圆截得的弦长为,又C1把AB三等分,所以=,两边平方并整理得a2=11b2,代入a2-b2=5得b2=.
四、课堂运用
【基础】
1.双曲线-=1的焦距为( ).
A.3B.4C.3D.4
【解析】 由已知有c2=a2+b2=12,∴c=2,故双曲线的焦距为4.
【答案】 D
2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ).
A.2B.2C.4D.4
【解析】 双曲线2x2-y2=8的标准方程为-=1,所以实轴长2a=4.
【答案】 C
3.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( ).
A.y=±
xB.y=±
2x
C.y=±
xD.y=±
【解析】 由题意得b=1,c=.∴a=,∴双曲线的渐近线方程为y=±
x,即y=±
x.
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:
x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
( ).
A.-=1B.-=1
【解析】 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±
ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是-=1.
【答案】 A
5.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于________.
【解析】 由渐近线方程y=x,且b=3,得a=2,由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=4,又|PF1|=3,∴|PF2|=7.
【答案】 7
【巩固】
1.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.
【解析】 由题易知,双曲线的右焦点为(4,0),点M的坐标为(3,)或(3,-),则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
【答案】 4
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同.则双曲线的方程为________.
【解析】 ∵双曲线的渐近线为y=x,∴=,①
∵双曲线的一个焦点与y2=16x的焦点相同.
∴c=4.②
∴由①②可知a2=4,b2=12.
∴双曲线的方程为-=1.
【答案】 -=1.
3.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ).
A.B.C.D.
【解析】 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则kBF=-,双曲线的渐近线方程为y=±
x,
∴-·
=-1,即b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得e=.又e>1,∴e=.
【答案】 D
【拔高】
1.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
【答案】e=2.
【解析】由l过两点(a,0)、(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.
由原点到l的距离为c,得=c.
将b=代入,平方后整理,得
162-16×
+3=0.
令=x,则16x2-16x+3=0,解得x=或x=.
由e=,得e=,故e=或e=2.
∵0<a<b,∴e===>,
∴应舍去e=,故所求离心率e=2.
2.求适合下列条件的双曲线方程.
(1)焦点在y轴上,且过点(3,-4)、.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±
3y=0,且双曲线经过点P(,2).
【答案】y2-x2=1.
【解析】
(1)设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则因为点(3,-4),在双曲线上,
所以点的坐标满足方程,由此得
令m=,n=,则方程组化为
解方程组得
∴a2=16,b2=9.所求双曲线方程为-=1.
(2)由双曲线的渐近线方程y=±
可设双曲线方程为-=λ(λ≠0).
∵双曲线过点P(,2),∴-=λ,λ=-,
故所求双曲线方程为y2-x2=1.
课程小结
两种方法
(1)定义法:
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a、2b或2c,从而求出a2、b2,写出双曲线方程.
(2)待定系数法:
先确定焦点是在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2、b2的值,即“先定型,再定量”;
如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.
三个防范
(1)区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
(2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1).
(3)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±
x,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±
课后作业
1.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲
A.4+2B.-1
C.D.+1
【解析】(数形结合法)因为MF的中点P在双曲线上,
|PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2为正三角形,边长都是2c,所以c-c=2a,
所以e===+1,故选D.
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( ).
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
【解析】 由题意可知,解得,因此选B.
【答案】 B
3.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±
2y=0,则a的值为( ).
A.4B.3C.2D.1
【解析】双曲线-=1的渐近线方程为3x±
ay=0与已知方程比较系数得a=2.
4.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ).
A.B.C.2D.3
【解析】设双曲线C的方程为-=1,焦点F(-c,0),将x=-c代入-=1可得y2=,所以|AB|=2×
=2×
2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e==.
5.(2011·
青岛模拟)设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且·
=0,则|+|=( ).
A.B.2C.D.2
【解析】 如图,由·
=0可得⊥,
又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2
为矩形,因为矩形的对角线相等,
故有|+|=||=2c=2.
1.若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.
【解析 由已知得e====2.
∴m=48.
【答案】48
2.已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为________.
【解析】 ∵焦点坐标是(,0),∴9+a=13,即a=4,
∴双曲线方程为-=1,∴渐近线方程为±
=0,即2x±
3y=0.
【答案】 2x±
3y=0
3.设双曲线的渐近线方程为2x±
3y=0,则双曲线的离心率为________.
【解析】 当焦点在x轴上时,=,即=,所以e2=,解得e=;
当焦点在y轴上时,=,即=,所以e2=,解得e=,即双曲线的离心率为或.
【答案】 或
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( ).
【解析】 由题意得⇒⇒
c==.∴双曲线的焦距2c=2.
2.如下图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边上的中点,双曲线均以F1,F2为焦点,设图1,图2中双曲线的离心率分别为e1,e2,则( ).
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