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,
353.如图9-50,点A在锐二面角a-MN-b的棱MN上,在面a内引射线AP,使AP与MN所成的∠PAM为45°
,与面b所成的角为30°
,求二面角a-MN-b的大小.
如图答9-44,取AP上一点B,作BH⊥b于H,连结AH,则∠BAH为射线AP与平面b所成的角,∴ ∠BAH=30°
,再作BQ⊥MN,交MN于Q,连结HQ,则HQ为BQ在平面b内的射影.由三垂线定理的逆定理,HQ⊥MN,∴ ∠BQH为二面角a-MN-b的平面角.
图答9-44
设BQ=a,在Rt△BAQ中,∠BQA=90°
,∠BAM=45°
,∴ ,在Rt△BAH中∠BHA=90°
,∠BAH=30°
,∴ .在Rt△BHQ中,∠BHQ=90°
,BQ=a,,,∵ ∠BQH是锐角,∴ ∠BQH=45
即二面角a-MN-b等于45°
.
354.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题:
(1)α∥βl⊥m
(2)α⊥βl∥m
(3)l∥mα⊥β(4)l⊥mα∥β
其中正确的两个命题是()
A.
(1)与
(2)B.(3)与(4)C.
(2)与(4)D.
(1)与(3)
分析:
本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系,以及空间想象能力和逻辑推理能力.
解法一:
在l⊥α,mβ的前提下,当α∥β时,有l⊥β,从而l⊥β,从而l⊥m,得
(1)正确;
当α⊥β时,l垂直于α、β的交线,而m不一定与该交线垂直,因此,l与m不一定平行,故
(2)不正确.故应排除A、C.依题意,有两个命题正确,不可能(3),(4)都正确,否则连同
(1)共有3个命题正确.故排除B,得D.
解法二:
当断定
(1)正确之后,根据4个选择项的安排,可转而检查(3),由l∥m,l∥α知m⊥α,从而由mα得α⊥β.即(3)正确.故选D.
解法三:
不从
(1)检查起,而从
(2)、(3)、(4)中任一命题检查起,如首先检查(4);
由l⊥α,m⊥β不能否定m是α、β的交线,因此α∥β不一定成立,故(4)是不正确的,因此可排除B、C.依据A和D的内容可知
(1)必定是正确的,否则A和D也都排除,以下只要对
(2)或(3)检查,只须检查一个便可以做出判断.
355.一张正方形的纸ABCD,BD是对角线,过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O,以EF为棱,将正方形的纸折成直二面角,则∠BOD等于()
A.120°
B.150°
C.135°
D.90°
本题考查线面垂直,面面垂直,余弦定理,以及空间与平面问题的转化能力。
如图,设正方形边长为a,由O为正方形中心,则BO=a,DO=a,连AB,因为DA⊥AE,DA⊥BE,故DA⊥面AEB,所以DA⊥AB,故ΔDAB为直角三角形,BD====a.
又在ΔBOD中,由余弦定理可得cos∠BOD===-,所以∠BOD=120°
评析:
本题为折叠问题,此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化,此外,还要注意找出空间转化为平面的途径,几何计算的准确性等。
356.已知平面α∥平面β,B,D∈β,AB⊥CD,且AB=2,直线AB与平面α所成的角为30°
,则线段CD的长为取值范围是()
A.[1,+∞]B.(1,)C.(,)D.[,+∞)
本题考查直线与直线所成的角,直线与平面所成的角的概念。
线面垂直的判定和性质,以及空间想象能力和几何计算.
解如图所示,过D作DA′∥AB交平面α于A′.由α∥β,故DA′=AB=2,DA′与α成30°
角,由已知DC⊥AB,可得DC⊥DA′,所以DC在过DC且与DA′垂直的平面γ内,令∩α=l,在内,DC⊥l时为最短,此时DC=DA′·
tan30°
=.故CD≥.∴应选D.
357.如图,四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,AB⊥BC,且AB=CD,侧棱PB⊥底面ABCD,PC=5,BC=3,ΔPAB的面积等于6,若平面DPA与平面CPB所成的二面角为α,求α.
平面DPA与平面CPB有一公共点P,要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线,DA和CB的延长线的交点E是它们的另一公共点.由公理二,PE就是二面角的公共棱.有了公共棱,二面角的平面角就生了根.
解延长DA交CB的延长线于E,连PE,则PE就是平面DPA和平面CPB的交线.
∵AB∥DC,AB⊥BC,∴DC⊥BC,PB⊥底面ABCD.
∴PB⊥DC,∴DC⊥平面PCE.
作CF⊥PE于F,连DF由三垂线定理得PE⊥DF,∴∠DFC=α.
∵AB=CD,PC=5,BC=3,∴PB=4.
SΔPAB=6,∴AB=3,CD=6,==.
∴EB=3,PE=5.
∵PB·
EC=CF·
PE,∴CF=.
在直角ΔDCF中,tanα===.
α=antan.
这是一道较难的题,难就难在怎么确定两相交平面的交线.由公理二交线的唯一性必须找出另一个公共点,因此本题延长DA、CB相交于E,确定这个E点就成了关键.
358.如图,已知三条射线SA,SB,SC所成的角∠ASC=BSC=30°
,∠ASB=45°
,求平面ASC与平面BSC所成二面角的大小.
在SC上任取一点D,过D作平面DEF垂直于SC,分别交平面SAC、SBC、SAB于DE、DF、EF,则∠EDF是二面角A—SC—B的平面角,令SD=.
∵∠ASC=30°
,∴在RtΔSED中,DE=1,SE=2.
同理DF=1,SF=2.
在ΔSEF中,依余弦定理EF2=8-4.
∴在ΔDEF中,cos∠EDF=2-3,又-1<2-3<0.
∴二面角A—SC—B的平面角∠EDF=arccos(2-3)=π-arccos(3-2)
说明本例给出了一个构造二面角的平面角的方法,过棱上一点作棱的垂面,这样在计算时同时取特殊值可以使问题简单化.
359.如图,二面角α—DC—β是α度的二面角,A为α上一定点,且ΔADC面积为S,DC=a,过点A作直线AB,使AB⊥DC且与半平面β成30°
的角,求α变化时,ΔDBC面积的最大值.
在α内作AE⊥DC于E,则AE为ΔADC的高,则有AE·
DC=,AE=.
由于DC⊥AE,DC⊥AB,则有DC⊥ΔAEB所在的平面,所以DC⊥BE,则∠AEB是二面角α—DC—β的平面角,即∠AEB=α.
又由于DC⊥ΔAEB所在平面,且DC在β上,所以平面β⊥ΔAEB所在平面.
令AF⊥BE于F,则有AF⊥平面β,于是,FB是AB在平面β上的射影,所以∠ABE是AB与β所成的角.
∴∠ABE=30°
,在ΔAEB中,有=,∴EB=sin(α+30°
).
据题意,有α∈(0°
,180°
),当α=60°
时,有EBmax=,这时(SΔDBC)max=a·
=2S.
说明本例对直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角的平面角,点到直线的距离,点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的,综合了直线与平面这一章的一些主要知识.
360.如图,设平面AC与平面BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°
,P∈平面AC,Q∈平面BD,已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,且M在BC上,又直线PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ,0°
<θ<90°
,设线段PM=a,求PQ的长.
在ΔPMQ中因为PM=a,∠PQM=β,欲求PQ的长,根据正弦定理只要能求出sin∠PMR就行了.
解设PMR=α,作PR⊥MQ于R,显然PR⊥平面BD.
作RN⊥BC于N,连PN,则PN⊥BC.∴∠PNR=45°
,∠PQM=β.
在直角ΔPMR中:
PR=asinα,MR=acosα.
在直角ΔMNR中:
NR=MRsinθ=acosαsinθ.
∵PR=NR,∴asinα=acosαsinθ.
∴tanα=sinθ,cosα=,sinα=.
在ΔPMQ中由正弦定理:
=,
∴PQ==.
本题是利用正弦定理通过解斜三角形求出PQ的长,当然也可以通过三个直角三角形中的关系转换,先出求PR,最后在直角ΔPQR中利用锐角函数处理,相比之下,还是给出的解法略为简便些.
361.有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,将它们一个侧面重叠后,还有几个暴露面?
有5个暴露面.
如图所示,过V作VS′∥AB,则四边形S′ABV为平行四边形,有∠S′VA=∠VAB=60°
,从而ΔS′VA为等边三角形,同理ΔS′VD也是等边三角形,从而ΔS′AD也是等边三角形,得到以ΔVAD为底,以S′与S重合.
这表明ΔVAB与ΔVSA共面,ΔVCD与ΔVSD共面,故共有5个暴露面.
362.若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)
该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点,实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.
排除{1,1,2},可得{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2},然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体,再求其体积.
由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为2,另一边为1,对棱相等的四面体.
对于五条边为2,另一边为1的四面体,参看图1所示,设AD=1,取AD的中点为M,平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥,由对称性可知AD⊥面BCM,且VA—BCM=VD—BCM,所以
VABCD=SΔBCM·
AD.
CM===.设N是BC的中点,则MN⊥BC,MN===,从而SΔBCM=×
2×
=,
故VABCD=×
×
1=.
对于对棱相等的四面体,可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·
不妨令a=b=2,c=1,则
V=·
=·
=.
363.湖结冰时,一个球漂在其上,取出后(未弄破冰),冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴,求该球的半径.
设球的半径为R,依题意知截面圆的半径r=12,球心与截面的距离为d=R-8,由截面性质得:
r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2.
得R=13∴该球半径为13cm.
364.在有阳光时,一根长为3米的旗轩垂直于水平地面,它的影长为米,同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上,如图所示,求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
由题意知,光线与地面成60°
角,设球的阴影部分面积为S,垂直于光线的大圆面积为S′,则Scos30°
=S′,并且S′=9π,所以S=6π(米2)
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