直线和圆锥曲线经常考查的一些题型2Word文档格式.doc
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(8)目标:
弦长,中点,垂直,角度,向量,面积,范围等等
运用的知识:
1、中点坐标公式:
,其中是点的中点坐标。
2、弦长公式:
若点在直线上,
则,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
或者
。
3、两条直线垂直:
则
两条直线垂直,则直线所在的向量
4、韦达定理:
若一元二次方程有两个不同的根,则。
常见的一些题型:
题型一:
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围
规律提示:
通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:
证明直线过定点,也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一,再得出结论。
练习:
1、过点P(3,2)和抛物线只有一个公共点的直线有()条。
A.4 B.3 C.2 D.1
题型二:
弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:
垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。
例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N:
交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;
若不存在,请说明理由。
练习1:
已知椭圆过点,且离心率。
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。
题型三:
动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C:
的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论。
例题4、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;
最小值为1;
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。
求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标。
直线和抛物线相交于A、B,以AB为直径的圆过抛物线的顶点,证明:
直线过定点,并求定点的坐标。
题型四:
过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上,则过定点的直线的方程和曲线联立,转化为一元二次方程(或类一元二次方程),考察判断式后,韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标,进而解决问题。
下面我们就通过例题领略一下思维过程。
例题5、已知点A、B、C是椭圆E:
上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。
练习1、:
已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
解:
题型五:
共线向量问题
解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题,再通过未达定理------同类坐标变换,将问题解决。
此类问题不难解决。
例题6如图,已知点(1,0),直线l:
x=-1,P为平面上的动点,过作直线l的垂线,垂足为点,且
(Ⅰ)求动点的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知,求的值。
解法一:
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点P为椭圆上一点,弦PA、PB分别过焦点F1、F2,(PA、PB都不与x轴垂直,其点P的纵坐标不为0),若,求的值。
题型六:
面积问题
例题7已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
题型七:
弦或弦长为定值问题
例题8设椭圆E:
(a,b>
0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?
若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由。
问题八:
四点共线问题
例题9、设椭圆过点,且左焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:
点总在某定直线上
问题九:
范围问题(本质是函数问题)
例题11设、分别是椭圆的左、右焦点。
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·
的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。
问题十、存在性问题:
(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:
三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
例题10设椭圆E:
例题11
已知椭圆C:
的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B
两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?
若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;
若不存在,说明理由。
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