导数的性质函数的极值最值docxWord格式.docx

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0,所以x>

2或x<

0.

/（Xo+心T常数，则称这个常数为函数f（x）

在x=x（）点的导数。

上式中必有（

A.Ax>

0答：

C.

B.Ax<

）

C.Ax^O

D.Ax<

0或△x=O或△x>

解析：

△*=（）时,

心3）一弘）没有意义。

Ar

4.某企业每月生产q吨产品时总成本C是产量q的函数C（q）=q2—10q+20,则每月生产8吨产品的边际成

本是（）

A.4B.6C.10D.20

B.

由C（q）=2q—10,得q=8时的边际成本是Cz（8）=6.

5.若函数他）=疋一24,f（x0）=3,贝〃（xo）的值是（）

A.3B.3或一3C.-23或一25D.3或一51

由f'

（x）=3x2得f（xo）=3x（）2=3,x0=±

b于是J（l）=-23,f（-1）=-25

6.已知函数y=/（x）在一个闭区间上的最大值是5,最小值是-1,则该函数的图象与直线x=4的交点的个

数是（）

A.至少一个B.至多一个C.恰有一个D.两个以上

答:

根据函数的定义可得——答案B.

7.已知函数f（x）=x3-px2-qx的图象在x=l时的切线与直线x+2y-l=0垂直，则p、q满足的关系式为（）

A.2p+q-l=0B.4p+2q-7=0C.p+q-l=OD.2p+q-3=0

A.

rh/（x）=3x2-2px-q以及f（1尸3-2p-q=2，于是得2p+q-l=0.

8•函数y=（x2-2x）（x+a）在x=1处的切线的倾斜角为（）

A.0°

B.-45°

C.450D.135°

D.

由函数f（x）=x3+（a-2）x2-2ax,得厂（x）=3x?

+2（a-2）x-2a,以及f'

（l）=-1,于是根据倾斜角的范围得倾斜角为135°

.

9.已知函数f（x）=ax3-x2+x-5在（-co,+oo）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

111

A.a>

—B.a=—C.a>

0D.a>

—

333

由函数f（x）=ax3-x2+x-5,得f（x）=3ax'

_2x+l,依题意只需3ax2-2x+l>

0且a>

0恒成立即可,故有

A=4-12a<

0,解得a>

-.

10.已知函数f（x）=ax3-6ax2+b在区间［-1,1］上的最大值为3,最小值为-32（a>

0）,则a、b的值为（）

A.a=5,b=-32或a=7,b=-32B.a=5,b=3C.a=7,b=3D.a=5,b=3或a=7,b=3

当xW（-1,1）时,由f（x）=3ax2-12ax=0得Xi=0,x?

=4舍去.列表如下：

X

（-1,0）

（0,1）

/（X）

+

—

f（x）

7

极丿"

"

'

（（））

\

于是知函数在（-1,1）的极大值为Z（0）=b,又f（-l）=b-7a,y（l）=b-5a,由a>

0可知f（-l）勺⑴,因此f（-1）是函数的最小值，f（0）=b是最大值，由f（-1）=-32及f（0）=3得a=5,b=3

11.若曲线y=kx3的一条切线的方程为y=3x+l,则k的值为（）

A.2B.3C.4D.不能确定

设切点为P（xo，y°

）,由/（x）=3kx2得切线的斜率为3kx02=3,于是kx02=1.又yo=kx（）'

且yo=3xo+l.

于是得yo=x（）,yo=3x（）+l.解得x0=,k=4.

12.已知函数f（x）=xW+（a+6）x+l在（-2,2）上既有极大值又极小值，则a的取值范围是（）

r丄18

A.a<

—3或a>

6B.（bC.—6<

a<

—3D.—3

5

由于函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+l在（-2,2）上既有极大值又极小值，知/（x）=3x2+2ax+a+6=0在（-2,2）上有二不等实根，于是有

CA=4a2—12（a+6）>

.-2<

-—<

2

13

f（-2）=12-4a+a+6>

J/

（2）=12+4a+a+6>

1Q

解Z得<

—3.

第二卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上。

13.若函数y=f（x）在点xo处的导数/（xo）=0,且曲线y=y（x）在点（x°

/（x0））处有切线m,则该切线m的方程为•

y=f（xo）.

依题意切线的斜率为0,且过点（xo,f（xo））,于是得切线方程为y=f（xo）.

[4.已知f（x）=-x3+2xf（l）,则f（0）=o

答案：

-2.

由f（x）=-x'

+2xf

（1）得

f'

（x）=x2+2/（l）

因此有/

（1）=1+2/

（1）

才

（1）=一1'

/（X）=x2-2

・・・f（0）=-2

15.曲线f（x）=2x2+b与g（x）=bx‘在x=x0处的切线互相垂直，则x0=

-

由题意得f（x）=4x.,g（x）=-2x20因为在x=x（）处的切线互相垂直，所以有

f（xo）-g'

（xo）=4x0-（-2xo2）=_i于是得Xo=£

•

16.已知如下命题：

①已知函数.f（x）的一个极大值M,—个极小值m,则必有M>

m；

②已知函数Rx）的导函数为/（X）,fif'

（Xo）=O,贝叶（X。

）必是函数f（x）的一个极值；

③函数图象在某点处的切线与函数图象只能有一个公共点；

④与函数图象只有一个公共点的直线未必是函数图彖的切线。

其中不正确的结论有（只

••••

填代号即可）。

①②③

④是正确的，比如二次函数的对称轴就是这样的直线；

②不正确，比如函数y=x3,/Ix=o=O,但是x=0不是函数的极值点；

①③的不正确性可以举例从图象上加以鉴别，如图。

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本大题满分共12分）

设一质点运动的速度是x）（t）=-t4-7t3+15t2+3.问：

从t=0到t=10这段时间内，运动速度的改变情况怎样?

4

解：

当tw（0,10）时lild（t）=3t3—21r+30t=3t（t-2）（t-5）=0,得h=2,t2=5.3分

于是可列表如下：

t

（0,2）

（2,5）

（5,10）

M⑴

U（t）

/

极大值1）

（2）

极小值1）（5）

113、.、

根据此表及1）（0）=3,u

（2）=19,u（5）=,v（l0）=2003»

刊知从t=0到t=10这段时间内，运动速度的变

化情况是：

从t=0到（=2时速度逐渐增大，t=2时取极大fili）

（2）=19；

从t=2到t=5时速度逐渐减小，t=5时取极

113

小值1）（5）=-于；

从t=5到t=10时速度逐渐增大。

12分

1&

（本题满分12分）

设某银行中的总存款与银行付给客户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，它给存款户支付的年利率定位多少时，才能获得最大利润?

设银行的总存款额为m（m>

0）,银行给存款户支付的年利率为x时，银行获得的利润为y.则依题意有m=kx2（k>

0,k为常数），y与x的函数关系是2分

y=m-90%-10%-mx=kx2-90%-10%-kx2-x=-kx3+0.09kx2（x>

0）4分

于是有

yz=-3kx2+0.18kx

当xG（0,+oo）yz=-3kx2+0.18kx=-3kx（x-0.06）=0得

x=0.06（x=0舍去）6分

列表如下:

（0,0.06）

0.06

（0.06,+oo）

yz

y

极大值

根据题意可知x=0.06就是函数的最大值点，因此x=0.06时函数取得最大值.

综上可知当银行给存款户支付的年利率定位在6%时，才能获得最大利润.

19（本小题满分12分）

已知函数/（x）=--x3^bx2-3a2x（a^0）^x=a处取得极值，

（1）用x,a表示f（x）；

（2）设函数g（x）=2x3-3af（x）-6a\如果g"

）在开区间（0,1）上存在极小值，求实数a的取值范围。

（1）/（x）=-x2+2bx-3a21

rhf\ci）=-a2+2加-3夕=0得/?

=2°

f（x）=—兀3+2.ax~—3ci~x3分

（2）由已知可得g（兀）=2x3+3ax2-12a2x+3a3

贝ijg\x）=6x2+6ax-\2a2=6（x-a）（x+2a）,5分

令g'

（x）=0,得x-a或兀=-la若d＞0,贝ij为％＜—2°

或兀＞67时，g'

（x）＞0；

为一2°

＜兀＜°

时，g'

（x）vO

若a<

0,贝9当兀<

d或x>

—2a时,g\x）>

0；

当a<

x<

-2a时，g'

（x）<

•••当x=-2a时，g（X）有极小值,•・・g（x）在开区间（0,1）上存在极小值,

/.0<

—2a<

1,—<

tz<

011分

•••当——VQV0或0VdV1时，g（X）在开区间（0,1）上存在极小值。

更换理由：

一份试卷应用题过多。

20.（本题满分12分）

设函数f（x）=X3-—x2-2x+5.

（1）求函数.f（x）的单调区间；

（2）当x丘［-1,2］时，f（x）<

m恒成立，求实数m的収值范围。

（1）由/（x）=3x2-x-2>

0得函数的单调递增区间为（-co,-一）和（1,+oo）；

2分

由#（x）=3x2-x-2<

0得函数的单调递减间为

（2）欲使当xe［_i,2］时,f（x）<

m恒成立，只需求出函数f（x）在闭区间［-1,2］上的最大值f（x）max,即可得到m的取值范围为m>

f（x）max.5分

22

（―1,