复数的三角形式Word格式文档下载.docx
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(1)
又=1,点(1,1)在第一象限。
所以
(2)
有,点()在第四象限,所以
想一想:
怎样求复数的辐角?
复数的三角形式有哪些特征?
下列各式是复数的三角形式吗?
(3)
例2把下列复数转化为三角形式
(1)-1;
(2);
(3)
(1)=1,辐角主值为=,所以
-1=
(2)辐角主值为=,所以
=
(3),由和点在第四象限,得
,
所以=
总结:
复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是:
①求复数的模:
;
②由及点所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可);
③写出复数的三角形式。
例3.求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<
θ<
2π)的模与辐角主值.
分析:
式子中多个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”.
解:
Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i·
sincos=2cos(cos+isin)........
(1)
∵π<
2π ∴<
<
π, ∴cos<
∴
(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]
∴r=-2cos,ArgZ=π++2kπ(k∈Z)
∵<
π ∴π<
π+<
2π, ∴argZ=π+.
例4.将Z=(π<
3π)化为三角形式,并求其辐角主值.
三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化.
====cos2θ+isin2θ
∵π<
3π,∴<
2θ<
6π,
∴π<
2θ-4π<
2π,∴argZ=2θ-4π
例5.若Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和argZ范围.
法一,数形结合
由|Z-2|≤1,知Z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,
另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=,∴argZ∈[0,]∪[π,2π)
法二:
用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设Z=x+yi(x,y∈R)
则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,
∴|Z|=≤=,
∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.
例6.求-3-4i的平方根.
解法一 利用复数代数形式.设-3-4i的平方根为x+yi(x,y∈R),则有
(x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i, 由复数相等条件,得
∴-3-4i的平方根是±
(1-2i).
法二 利用复数的三角形式.
练习:
求1的立方根
例7.已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数( )
A、必为纯虚数 B、是虚数但不一定是纯虚数 C、必为实数 D、可能是实数也可能是虚数
[思路分析]:
选择题,从结论的一般性考虑,若z=±
1,显然A、B选项不成立,分析C、D选项,显然穷举验证不能得出一般结论只能推演
解:
[法1] 设z=a+bi,a,b∈R,a2+b2=1,a≠0.
则===∈R,故,应选C。
[法2] 设z=cosθ+isinθ(θ∈R,且θ≠kπ+),
则===∈R。
[法3] ∵z·
=|z|2,∴当|z|=1时有z·
=1,
∴===∈R.
[法4] ∵当|z|=1时有z·
=1,
∴==∈R.
[法5] ∵复数z为实数的充要条件是z=,
而()=,又∵|z|=1时,=,
∴==,∴∈R。
例8.设x,y∈R,z1=2-x+xi,z2=y-1+(-y)i,
已知|z1|=|z2|,arg=,
(1)求()100=?
(2)设z=,求集合A={x|x=z2k+z-2k,k∈Z}中元素的个数。
(1)解:
∵|z1|=|z2|,∴||=1,
又arg=, ∴=||(cos+isin)=i,即z1=z2i,
∴2-x+xi=[y-1+(-y)i]i
即,解得x=y=+,
∴()100=(+i)100=(-+i)50==--i.
(2)[思路分析]:
由
(1)知z=+i,z的特性:
z3=-1=3,|z|=1,=;
z=cos+isin,z2=w,……,z2k+z-2k可怎么理解呢?
(z2)k+(z2)-k,z2k+2k,……
解[法1]:
令w=-+i,则z2k+z-2k=wk+w-k,
∵w3=1,而k∈z,∴k=
当k=3m时,z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,
当k=3m+1时,z2k+z-2k=w3m·
w+w-3m·
w-1=w+w-1=w+=-1,
当k=3m+2时,z2k+z-2k=w3m·
w2+w-3m·
w-2=w2+w-2=w3·
w-1+w-3·
w=w-1+w=-1,
综上可知,集合A中有2个元素。
[法2]:
∵|z|=1,∴=,
∴z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos
=
由此可判定集合A中有2个元素。
例9.设复数z=cosθ+isinθ(0<
π),w=,并且|w|=,argw<
求θ。
(93年全国理)
w===
=tg2θ(sin4θ+icos4θ)
∴|w|=|tg2θ| 由|w|=得tg2θ=±
.
∵0<
π,故有(i)当tg2θ=时,得θ=或θ=.
此时w=(cos+isin),∴argw=<
适合题意。
(ii)当tg2θ=-时,得θ=π或θ=π,此时,w=(cosπ+isinπ).
∴argw=π>
不合题意,舍去,
故综合(i),(ii)知,θ=或θ=.
例10:
三角级数求和
令那么对任何自然数k,有于是
另一方面
即
思考与练习
1、利用复数推导三倍角公式
2、若复数z满足,当复数z的辐角为300时,求复数z的模。
3、已知复数,求复数的辐角的主值.
4、设z满足,求z.
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