求轨迹方程的常用方法Word文档格式.doc
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的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法:
若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。
6:
交轨法:
在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。
(二)求轨迹方程的注意事项:
1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。
来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。
3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。
(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。
检验方法:
研究运动中的特殊情形或极端情形。
4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。
在此不一一缀述。
课前热身:
1.P是椭圆=1上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为:
()
A、B、C、D、=1
【答案】:
B
【解答】:
令中点坐标为,则点P的坐标为(代入椭圆方程得,选B
2.圆心在抛物线上,并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是()
A B
C D
D
令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选D
3:
一动圆与圆O:
外切,而与圆C:
内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A:
抛物线B:
圆C:
椭圆D:
双曲线一支
【解答】令动圆半径为R,则有,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。
故选D。
4:
点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动,则点M(2x0,y0)的轨迹是()
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线
A
令M的坐标为则代入圆的方程中得,选A
【互动平台】
名师点题一:
用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1:
已知的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足求点C的轨迹。
【解析】由可知,即,满足椭圆的定义。
令椭圆方程为,则,则轨迹方程为(,图形为椭圆(不含左,右顶点)。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
(1)圆:
到定点的距离等于定长
(2)椭圆:
到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)
(3)双曲线:
到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)
(4)到定点与定直线距离相等。
【变式1】:
1:
已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。
解:
设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:
,。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。
故所求轨迹方程为
2:
一动圆与圆O:
二:
用直译法求曲线轨迹方程
此类问题重在寻找数量关系。
例2:
一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程?
解设M点的坐标为由平几的中线定理:
在直角三角形AOB中,OM=
M点的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。
一般直译法有下列几种情况:
1)代入题设中的已知等量关系:
若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2)列出符合题设条件的等式:
有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式,得出其轨迹方程。
3)运用有关公式:
有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4)借助平几中的有关定理和性质:
有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】:
动点P(x,y)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即),求动点P的轨迹方程?
【解答】∵|PA|=
代入得
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.
三:
用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。
【解析】
分析1:
从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。
解法1:
设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)
∵M为AB的中点,
消去k,得x+2y-5=0。
另外,当k=0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程;
当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。
综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0。
分析2:
解法1中在利用k1k2=-1时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?
只需利用△PAB为直角三角形的几何特性:
解法2:
设M(x,y),连结MP,则A(2x,0),B(0,2y),
∵l1⊥l2,∴△PAB为直角三角形
化简,得x+2y-5=0,此即M的轨迹方程。
分析3:
:
设M(x,y),由已知l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:
k1k2=-1,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。
事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。
解法3:
设M(x,y),∵M为AB中点,∴A(2x,0),B(0,2y)。
又l1,l2过点P(2,4),且l1⊥l2
∴PA⊥PB,从而kPA·
kPB=-1,
注意到l1⊥x轴时,l2⊥y轴,此时A(2,0),B(0,4)
中点M(1,2),经检验,它也满足方程x+2y-5=0
综上可知,点M的轨迹方程为x+2y-5=0。
【点评】
1)解法1用了参数法,消参时应注意取值范围。
解法2,3为直译法,运用了kPA·
kPB=-1,这些等量关系。
用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。
也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
【变式3】过圆O:
x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。
解法一:
“几何法”
设点M的坐标为(x,y),因为点M是弦BC的中点,所以OM⊥BC,
所以|OM|2+|MA|2 =|OA|2 ,
即(x2+y2)+(x-4)2+y2=16
化简得:
(x-2)2+y2=4................................①
由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为
(x-2)2+y2=4(0≤x<1)。
所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,
2为半径的圆在圆O内的部分。
解法二:
“参数法”
设点M的坐标为(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)直线AB的方程为y=k(x-4),
由直线与圆的方程得(1+k2)x2-8k2x+16k2-4=0...........(*),
由点M为BC的中点,所以x=...............
(1),又OM⊥BC,所以k=.................
(2)由方程
(1)
(2)
消去k得(x-2)2+y2=4,又由方程(*)的△≥0得k2
≤,所以x<1.
所以点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x<1)所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,
四:
用代入法等其它方法求轨迹方程
例4.
轨迹方程。
分析:
题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0)
则由M为线段AB中点,可得
即点B坐标可表为(2x-2a,2y)
【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
【变式4】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°
,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
【解析】:
设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点,依垂径定理在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
又|
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- 轨迹 方程 常用 方法