届成都市中考数学基础巩固专题复习五函数Word文档下载推荐.docx
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若点P在图象上,则P(x,y)的坐标适合函数解析式.
知识点6、列函数解析式解决实际问题
设x为自变量,y为x的函数,先列出关于x,y的二元方程,再用x的代数式表示y,最后写出自变量的取值范围,要注意使自变量在实际问题中有意义。
知识点7、一次函数与正比例函数的定义:
例如:
y=kx+b(k,b是常数,k≠0)那么y叫做x的一次函数,特别地当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0)这时,y叫做x的正比例函数。
知识点8、一次函数的图象和性质
一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b)和点(-
,0)的一条直线,k值决定直线自左向右是上升还是下降,b值决定直线交于y轴的正半轴还是负半轴或过原点。
知识点9、两条直线的位置关系
设直线
1和
2的解析式为y=k1x+b1和y2=k2x+b2则它们的位置关系由系数关系确定
k1≠k2
1与
2相交,k1=k2,b1≠b2
2平行,k1=k2,
b1=b2
2重合。
知识点10、反比例函数的定义
形如:
y=
或y=kx-1(k是常数且k≠0)叫做反比例函数,也可以写成xy=k(k≠0)形式,它表明在反比例函数中自变量x与其对应的函数值y之积等于已知常数k,
知识点11、反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像是双曲线,它是以原点为对称中心的中心对称图形,同时又是直线y=x或y=-x为对称轴的轴对称图形,当k>0时,图像的两个分支分别在一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,当k<0时,图象的两个分支分别在二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
知识点12、反比例函数中比例系数k的几何意义。
过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得矩形的PAOB的面积为|k|。
知识点13、二次函数的定义
y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)那么y叫做x的二次函数,它常用的三种基本形式。
一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0)
交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2是图象与x轴交点的横坐标)
知识点14、二次函数的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以(
)为顶点,以直线y=
为对称轴的抛物线。
在a>0时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧,即x<
时,y随x的增大而减小;
在对称轴的右侧,即当x>
时,y随着x的增大而增大。
在a<0时,抛物线开口向下,在对称轴的左侧,即x<
时,y随着x的增大而减小。
当a>0,在x=
时,y有最小值,y最小值=
,
当a<0,在x=
时,y有最大值,y最大值=
。
知识点15、二次函次图象的平移
二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。
知识点16、二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点。
(1)与y轴永远有交点(0,c)
(2)在b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,A(x1,0)、B(x2,0)这两点距离为AB=|x1-x2|,(x1、x2是ax2+bx+c=0的两个根)。
在b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点。
在b2-4ac<0时,则抛物线与x轴没有交点。
知识点17、求二次函数的最大值
常见的有两种方法:
(1)直接代入顶点坐标公式(
)。
(2)将y=ax2+bx+c配方,利用非负数的性质进行数值分析。
两种方法各有所长,第一种方法过程简单,第二种方法有技巧。
【复习点拨】
1.会根据点的坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标
2.会确定点关于x轴,y轴及原点的对称点的坐标
3.能确定简单的整式,分式和实际问题中的函数自变量的取值范围,并会求函数值。
4.能准确地画出一次函数,反比例函数,二次函数的图像并根据图像和解析式探索并理解其性质。
5.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系并用函数解决简单的实际问题。
【典例解析】
例题1:
(2017浙江衢州)如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚,经一次翻滚后得到△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是 (5,
) ,翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为 (
+896)π .
【考点】O4:
轨迹;
D2:
规律型:
点的坐标.
【分析】如图作B3E⊥x轴于E,易知OE=5,B3E=
,观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为
+
=(
)π,由2017÷
3=672…1,可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•(
)π+
π=(
+896)π.
【解答】解:
如图作B3E⊥x轴于E,易知OE=5,B3E=
∴B3(5,
),
观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为
)π,
∵2017÷
3=672…1,
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•(
故答案为(
例题2:
(2017甘肃张掖)如图①,在边长为4的正方形ABCD中,点P以每秒2cm的速度从点A出发,沿AB→BC的路径运动,到点C停止.过点P作PQ∥BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时,PQ的长是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】E7:
动点问题的函数图象.
【分析】根据运动速度乘以时间,可得PQ的长,根据线段的和差,可得CP的长,根据勾股定理,可得答案.
点P运动2.5秒时P点运动了5cm,
CP=8﹣5=3cm,
由勾股定理,得
PQ=
=3
cm,
故选:
B.
例题3:
(2017山东枣庄)如图,直线y=
x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为( )
A.(﹣3,0)B.(﹣6,0)C.(﹣
,0)D.(﹣
,0)
【考点】F8:
一次函数图象上点的坐标特征;
PA:
轴对称﹣最短路线问题.
【分析】
(方法一)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,从而得出点P的坐标.
(方法二)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点,由此即可得出点P的坐标.
(方法一)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.
令y=
x+4中x=0,则y=4,
∴点B的坐标为(0,4);
x+4中y=0,则
x+4=0,解得:
x=﹣6,
∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,
∴点C(﹣3,2),点D(0,2).
∵点D′和点D关于x轴对称,
∴点D′的坐标为(0,﹣2).
设直线CD′的解析式为y=kx+b,
∵直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2),
∴有
,解得:
∴直线CD′的解析式为y=﹣
x﹣2.
令y=﹣
x﹣2中y=0,则0=﹣
x﹣2,解得:
x=﹣
∴点P的坐标为(﹣
,0).
故选C.
(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.
∴点C(﹣3,2),点D(0,2),CD∥x轴,
∴点D′的坐标为(0,﹣2),点O为线段DD′的中点.
又∵OP∥CD,
∴点P为线段CD′的中点,
例题4:
(2017甘肃张掖)已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=
的图象交于第一象限内的P(
,8),Q(4,m)两点,与x轴交于A点.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)写出点P关于原点的对称点P'
的坐标;
(3)求∠P'
AO的正弦值.
【考点】G8:
反比例函数与一次函数的交点问题;
KQ:
勾股定理;
T7:
解直角三角形.
(1)根据P(
,8),可得反比例函数解析式,根据P(
,8),Q(4,1)两点可得一次函数解析式;
(2)根据中心对称的性质,可得点P关于原点的对称点P'
(3)过点P′作P′D⊥x轴,垂足为D,构造直角三角形,依据P'
D以及AP'
的长,即可得到∠P'
【解答】解:
(1)∵点P在反比例函数的图象上,
∴把点P(
,8)代入
可得:
k2=4,
∴反比例函数的表达式为
∴Q(4,1).
把P(
,8),Q(4,1)分别代入y=k1x+b中,
得
解得
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9;
(2)点P关于原点的对称点P'
的坐标为(
,﹣8);
(3)过点P′作P′D⊥x轴,垂足为D.
∵P′(
,﹣8),
∴OD=
,P′D=8,
∵点A在y=﹣2x+9的图象上,
∴点A(
,0),即OA=
∴DA=5,
∴P′A=
∴sin∠P′AD=
∴sin∠P′AO=
.
例题5:
(2017浙江义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:
“只要饲养室长比
(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,
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