初二等腰三角形讲义Word格式.doc
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重点、难点
重点:
等腰三角形的性质
难点:
“三线合一”的应用
教学内容
基础知识巩固:
1.等腰三角形定义:
2.等腰三角形的性质:
A
B
C
3.等腰三角形的判定:
【知识点简单运用】
例1、如图,在△ABC中,,在AC上,且求△ABC各角的度数。
练习:
1、如图△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°
),AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,图中有哪些相等的线段?
2、如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°
.求∠B和∠C的度数。
例2:
求证:
如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。
(写出已知和求证,画出图形)
随堂练习:
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°
,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°
(1)
(2)
2.如图2,一个顶角为40°
的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.
3.等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间应为________.
动手操作:
拿出一张类似于如图
(1)的矩形纸张,按照虚线对折如图
(2),按(3)中的线段剪开,得到图形(4),DE、DF分别是边AC、BC上的高线,观察DF与DE的关系,并给予证明。
(1)
(2)(3)(4)(5)
如果DE、DF是两边上的中线或者是∠ADC,∠BDC的平分线,它们还相等吗?
【例题经典】
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?
若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中,
根据等腰三角形的性质,∠1=∠2,∠ABD=∠ACE,
即可得到∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时,∠BOC=90°
+∠A;
∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时,∠BOC=120°
∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时,∠BOC=·
180°
+∠A.
【点评】在例1图中,若AE=AB,AD=AC.类似上题方法同样可证得BD=CE.上述规律仍然存在.
B
36°
45°
90°
108°
如图,在下列三角形中若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是。
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.
【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论.
1、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°
,且AE=AD,则∠CDE=________.
2、同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°
,则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于()
A.25°
B.50°
C.60°
D.130°
利用等腰三角形的性质证线段或角相等
例3.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°
,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
【分析】
(1)把△ABP绕点B顺时针旋转60°
即可得到△CBQ.利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ,得到AP=CQ.
(2)连接PQ,则△PBQ是等边三角形.PQ=PB,AP=CQ故CQ:
PQ:
PC=PA:
5,∴△PQC是直角三角形.
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明.
E
F
D
已知:
如图所示,的平分线交于,过作交于,交于.求证:
.
例:
如图,△ABC中,AD平分∠BAC,BP⊥AD于P,AB=5,BP=2,AC=9。
∠ABP=2∠ACB。
P
1、如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;
②∠BEO=∠CDO;
③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
(2)选择第
(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.
2、如图,AD=BC,AC=BD,求证△EAB是等腰三角形。
实际应用:
上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°
,∠NBC=84°
.求从海岛B到灯塔C的距离。
要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°
角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()
A.L1B.L2C.L3D.L4
典型题目练习:
1、如图,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点。
试判断OE和AB的位置关系,并给予证明。
2、如图,△ABC中,∠ABC=50°
,∠ACB=80°
,延长CB至D,使DB=BA,延长BC至E,使CE=CA。
连接AD、AE。
求∠D,∠E,∠DAE的度数。
(2)(3)
3、如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证AD垂直平分EF
一起发现数学中的美!
等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中,需要我们能够识别出来,下面列出五种常见的情形:
①
OC为∠AOB的平分线,CD//OB于AO于点D,则△ODC是等腰三角形。
想一想:
为什么?
②
△ABC中,AB=AC,DE//BC则△ADE为等腰三角形。
想一下,相等的两腰为什么?
③
△ABC中,OC为∠AOB的平分线,D是OB上一点,DC⊥OC于C,延长DC交OA于E,则△DOE是等腰三角形,其中OD=OE,DC=EC
想一想,为什么?
④
C是线段AB的垂直平分线上的一点,则△ABC是等腰三角形,其中AC=BC
△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠ABD=36°
,则图中共有三对等腰三角形,哪三对?
⑤
顶点为36°
的等腰三角形是黄金三角形,它较等边三角形又多了一份秀气,更有着很多“神奇”的性质;
它的底角平分线(BD)将原三角形分割成两个等腰三角形,其中一个(△BCD)仍保持着黄金三角形的形状。
不仅如此,点D在AC上的位置也有着非同一般的意义,即DA2=CD×
AC,即点D是线段AC的黄金分割点。
(五角星是由一个正五边形和五个黄金三角形组成的)
10
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