初中数学竞赛辅导资料(62)Word格式文档下载.doc
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2时, =x(x-2)=x2-2x;
当0<
2时,=-x(x-2)=-x2+x.
(2)解方程=6.
0时,x=-2;
当0≤x≤2时,方程无解;
当x>
2时,x=4.
∴原方程的解是:
x=-2,x=4..
(3)作函数y=的图象.
化去绝对值符号,得y=-2x+2(x<
0);
y=2(0≤x≤2);
y=2x-2(x>
2).
分别作出上述三个函数的图象(如图),就是函数y=的图象.
3.绝对值的几何意义是:
在数轴上一个数的绝对值,就是表示这个数的点离开原点的距离.
用这一定义,在解含绝对值符号的方程、不等式时,常可用观察法.
例如:
①解方程;
②解不等式;
③解不等式.
①∵的几何意义是:
x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数,即3和-3,
∴方程的解是x=3,x=-3.
②∵的几何意义是:
x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数,∴不等式的解集是 -3<x<3.
③∵的零点是x=-2,
∴的几何意义是:
x是数轴上到点(-2)的距离大于3个单位的点所表示的数,
∴的解集是x<
-5或x>
1.(如下图)
1
-20
--5
4.绝对值的简单性质:
①绝对值是非负数;
②两个互为相反数,它们的绝对值相等.
根据这些性质,可简化函数的作图步骤. 例如:
(1)对整个函数都在绝对值符号内时,可先作出不含绝对值符号的图象,再把横轴下方的部份,绕x轴向上翻折
作函数图象:
①y= ②y=
(2)当f(-x)=f(x),图象关于纵轴对称,这时可先作当x<
0时函数图象,再画出关于纵轴对称的图象.
y=x2-2-3的图象,
可先作y=x2+2x-3自变量x<
0时的图象(左半图)
再画右半图(与左半图关于纵轴对称).
(3)把y=的图象向上平移个单位,所得图象解析式是y=;
把y=的图象向右平移3个单位,所得图象解析式是y=.
(4)利用图象求函数最大值或最小值,判断方程解的个数都比较方便.
乙例题
例1.已知方程=ax+1有一个负根并且没有正根,求a的值.
(1987年全国初中数学联赛题)
0时,原方程为-x=ax+1, x=, ∴a+1>
0.
∴a>
-1;
当x>
0时,原方程为x=ax+1, x=, ∴1-a>
∴a<
1.
∵方程有一个负根并且没有正根,
∴a>
-1且a≮1,
∴a的取值范围是a≥1.
例2.求函数y=2的最小、最大值.
0时, y=-x+6;
当0≤x<
3时,y=-3x+6;
当x≥3时, y=x-6.
根据图象有最低点而没有最高点
∴函数没有最大值只有最小值-3(当x=3时).
例3. 解方程:
①;
②.
①∵点(x)到点A(-2)和点B(4)的距离相等(如下图),
∴x=1.
②∵点(x)到点A(-1)与到点B
(2)的距离的和等于4,=3
∴x=2.5, x=-1.5.
例4.解不等式:
①1≤≤3;
①点(x)到点A(-2)的距离大于或等于1而小于或等于3
在数轴上表示如图,
∴不等式的解集是:
-5≤x≤-3 或-1≤x≤1
②点(x)到点(-1)的距离,比到点
(2)的距离大1个单位以上.
在数轴上表示,如图:
∴不等式的解集是x>
例5. a取什么值时,方程有三个整数解?
(1986年全国初中数学联赛题)
化去绝对值符号,得=±
a,=1±
a,x-2=±
(1±
a),
∴x=2±
a).
当a=1时,x恰好是三个解4,2,0.
用图象解答更直观;
(1)先作函数y=图象,
(2)再作y=a(平行于横轴的直线)与y=图象相交,
恰好是三个交点时,y=1,
即a=1.
本题若改为:
有四个解,则0<
a<
1;
两个解,则a=0或a>
一个解,则a不存在;
无解,则a<
丙练习62
1. 方程=4的解是_______.
2. 方程=0的解是________.
3. 方程=3的解是________.
4. 方程=5的解是_______.
5. 不等式2≤≤5的解集是___________________.
6. 不等式<
5的解集是_______________________.
7. 不等式<
3的解集是_______________________.
8. 不等式的解集是_______________________.
9. 已知3-x, 那么_______________.
10. 关于x的方程=ax+2有根且只有负根,求a取值范围.
11. a取什么值时,方程无解?
有解?
有最多解?
12. 作函数y=的图象;
并求在-3≤x≤3中函数的最大、最小值.
13. 解方程.
14.作函数y=的图象.
15.选择题:
(1972、1973年美国中学数学竞赛试题)
①.对于实数x,不等式1≤|x-2|≤7等价于( )
(A) x≤1或x≥3 (B)1≤x≤3 (C)-5≤x≤0
(D)-5≤x≤1或3≤x≤9 (E)-6≤x≤1或3≤x≤10
②不等式|x-1|+|x+2|<
5的所有的实数解的集合是( )
(A) (B) (C)
(D) (E)φ(空集)
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