初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结Word格式文档下载.doc
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【分类解析】
例1.锐角三角形ABC中,∠C=2∠B,则∠B的范围是()
A. B.
C. D.
分析:
因为为锐角三角形,所以
又∠C=2∠B,
又∵∠A为锐角,为锐角
,即
,故选择C。
例2.选择题:
已知三角形的一个外角等于160°
,另两个外角的比为2:
3,则这个三角形的形状是()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
由于三角形的外角和等于360°
,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。
解:
∵三角形的一个外角等于160°
∴另两个外角的和等于200°
设这两个外角的度数为2x,3x
解得:
与80°
相邻的内角为100°
∴这个三角形为钝角三角形
应选C
例3.如图,已知:
在中,,求证:
。
欲证,可作∠ABC的平分线BE交AC于E,只要证即可。
为与题设联系,又作AF//BE交CB的延长线于F。
显然∠EBC=∠F,只要证即可。
由可得证。
证明:
作∠ABC的角平分线BE交AC于E,过点A作AF//BE交CB的延长线于F
又∵BE平分∠ABC,∴∠EBC=∠ABE
∴∠F=∠FAB,∴AB=BF
又∵AB+FB>AF,即2AB>AF
又∵
,又∵
例4.已知:
三角形的一边是另一边的两倍。
求证:
它的最小边在它的周长的与之间。
首先应根据已知条件,运用边的不等关系,找出最小边,然后由周长与边的关系加以证明。
如图,设的三边为a、b、c,其中,
因此,c是最小边,
因此,,即
故最小边在周长的与之间。
中考点拨:
例1.选择题:
如图是一个任意的五角星,它的五个顶角的和是()
A.50 B.100 C.180 D.200
由于我们学习了三角形的内角、外角的知识,所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。
所以选择C
已知三角形的两边分别为5和7,则第三边x的范围是()
A.大于2 B.小于12 C.大于2小于12 D.不能确定
根据三角形三边关系应有,即
所以应选C
例3.已知:
P为边长为1的等边内任一点。
求证:
过P点作EF//BC,分别交AB于E,交AC于F,
则∠AEP=∠ABC=60°
在中,
是等边三角形
题型展示:
例1.已知:
如图,在中,D是BC上任意一点,E是AD上任意一点。
(1)∠BEC>∠BAC;
(2)AB+AC>BE+EC。
在
(1)中,利用三角形内角和定理的推论即可证出在
(2)中,添加一条辅助线,转化到另一个三角形中,利用边的关系定理即可证出。
(1)∵∠BED是的一个外角,
同理,
即
(2)延长BE交AC于F点
例2.求证:
直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°
已知:
如图,在中,是的外角,AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。
求证:
∠AFB=45°
欲证,须证
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
∴要转证∠EAB+∠ABD=270°
又∵∠C=90°
,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
∴问题得证
∵∠EAB=∠ABC+∠C
∠ABD=∠CAB+∠C
∠ABC+∠C+∠CAB=180°
,∠C=90°
【实战模拟】
1.已知:
三角形的三边长为3,8,,求x的取值范围。
2.已知:
中,,D点在BC的延长线上,使,,,求α和β间的关系为?
3.如图,中,的平分线交于P点,,则()
A.68°
B.80°
C.88°
D.46°
4.已知:
如图,AD是的BC边上高,AE平分。
5.求证:
三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。
【试题答案】
1.
本题是三边关系的应用问题,只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
∵三边长分别为3,8,,由三边关系定理得:
2.
又
根据三角形内角和,得:
3.
又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线
4.
∵AE平分∠BAC,
又∵AD⊥BC,
5.
如图,设的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D
则
。
9、等腰三角形
(-)等腰三角形的性质
1.有关定理及其推论
定理:
等腰三角形有两边相等;
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
推论1:
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2:
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;
2.定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
(二)等腰三角形的判定
1.有关的定理及其推论
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。
)
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形。
推论3:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。
3.等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。
例1.如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。
M是BE的中点。
欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证BD=ED。
因为△ABC是等边三角形,∠DBE=∠ABC,而由CE=CD,又可证∠E=∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。
因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点
所以∠1=∠ABC
又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E
所以∠ACB=2∠E
即∠1=∠E
所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M
所以M是BE的中点(等腰三角形三线合一定理)
例2.如图,已知:
中,,D是BC上一点,且,求的度数。
题中所要求的在中,但仅靠是无法求出来的。
因此需要考虑和在题目中的作用。
此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
因为,所以
因为,所以;
因为,所以(等边对等角)
而
所以
又因为
即所以
即求得
说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现。
2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3.此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
如图,中,于D。
欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与的关系。
过点A作于E,
所以(等腰三角形的三线合一性质)
因为
又,所以
所以(直角三角形两锐角互余)
所以(同角的余角相等)
说明:
1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线;
2.对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加
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