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(二)邻补角、对顶角的性质
1、邻补角的性质:
邻补角。
注意:
邻补角是互补的一种特殊的情况,数量上,位置上有一条。
2、对顶角的性质:
完成推理过程
如图,∵∠1+∠2=,∠2+∠3=。
(邻补角定义)
∴∠1=180°
-,∠3=180°
-(等式性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
由上面推理可知,对顶角的性质:
对顶角。
三、应用
(一)例如图,已知直线a、b相交。
∠1=40°
,求∠2、∠3、∠4的度数
解:
∠3=∠1=40°
()。
∠2=180°
-∠1=180°
-40°
=140°
∠4=∠2=140°
你还有别的思路吗?
试着写出来
(二)练一练:
教材3页练习(在书上完成)
(三)变式训练:
把例题中∠1=40°
这个条件换成其他条件,而结论不变,自编几道题.
变式1:
把∠l=40°
变为∠2-∠1=40°
变式2:
把∠1=40°
变为∠2是∠l的3倍
变式3:
变为∠1:
∠2=2:
9
四、自我检测:
(一)选择题:
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有()毛
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF等于()
A.150°
B.180°
C.210°
D.120°
(1)
(2)
3.下列说法正确的有()
①对顶角相等;
②相等的角是对顶角;
③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
4.如图2所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°
则∠AOC的度数为()A.62°
B.118°
C.72°
D.59°
(二)填空题:
1.如图3所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.
(3)(4)(5)
2.如图3所示,若∠1=25°
则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.
3.如图4所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;
若∠AOC=50°
则∠BOD=______,∠COB=_______.
4.如图5所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.
5、已知∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3互为补角,则∠2+∠3=。
六、拓展延伸
1、如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°
求∠4的度数.
2、如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°
求∠BOD,∠AOE的
度数.
变式训练:
(1)直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠BOD-∠BOC=50°
,求∠EOC的度数。
(2)直线AB,CD相交于点O,若∠AOD=40°
,∠AOE:
∠EOD=2:
3,求∠EOD的度数。
3、两条直线交于一点,有几对对顶角?
三条直线交于一点,有几对对顶角?
四条直线交于一点,有几对对顶角?
X条直线交于一点,有几对对顶角?
一、学前准备
1、填空:
①如果∠α与∠β互为余角,∠α=37°
,那么∠β=。
②已知∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为余角,那么∠2与∠3的关系是。
二、探索与思考
(一)垂线的定义
转动相交线模型,观察两条直线所成的夹角的变化。
当夹角变化
到°
时,就是我们今天要研究的两条直线垂直。
2、定义:
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是时,这两条直线就互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做。
3、符号表示:
①如果直线AB、CD互相垂直,记作AB⊥CD,垂足为O。
②由两条直线垂直,可知四个角为直角。
记为∵AB⊥CD(已知)
∴∠AOD=90°
(垂直定义)
由两条直线交角为直角,可知两条直线互相垂直。
记为∵∠AOD=90°
(已知)
∴AB⊥CD(垂直定义)
4、总结:
①垂直是相交。
是相交的一种特殊情况。
②垂直是一种相互关系,即a⊥b,同时b⊥a
③当提到线段与线段,线段与射线,射线与射线,射线与直线的垂直情况时,是指它们所在的直线互相垂直。
5、生活中的垂直关系:
日常生活中,两条直线互相垂直很常见,你能举出几个例子吗?
(二)垂线的性质二
1、思考:
在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
2、探究:
上面思考问题可以转化为数学问题:
“已知直线l和直线外一点P,连接点P到直线l上各点O,A1,A2,A3…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段)。
请你比较线段PO,PA1,PA2,PA3…的长短,哪一条最短?
结论:
。
简记为:
1、对应练习:
①修一条公路将村庄A、B与公路MN连接起来,怎样修
才能使所修的公路最短?
画出线路图,并说明理由。
(三)点到直线的距离:
1、定义:
直线外一点到这条直线的,叫做点到直线的距离。
2、注意:
定义中说的是“垂线段的长度”,而不是“垂线段”。
因为,距离是一个数量,而“垂线段”是指一个具体的几何图形。
3、对应练习:
如图,∠BCA=90°
,CD⊥AB,垂足为D,则下列结论中正确的个数为()
①AC与BC互相垂直;
②CD与BC互相垂直;
③点B到AC的垂线段是线段AC;
④点C到AB的距离是线段CD;
⑤线段AC的长度是点A到BC的距离;
⑥线段AC是点A到BC的距离。
A.2B.3C.4D.5
三、自我检测:
(一)选择题:
1.如图1所示,下列说法不正确的是()毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;
B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;
D.线段BD是点B到AD的垂线段
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是()
A.大于acmB.小于bcm
C.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有()
A.0个B.1个;
C.无数个D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到
直线m的距离为()
A.4cmB.2cm;
C.小于2cmD.不大于2cm
1、如图4所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°
.
2、如图5,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
(4)(5)(6)(7)(8)
3、如图6,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短,因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
4、如图7,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
5、如图8,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°
∠BOC=130°
那么射线OE与直线AB的位置关系是_________.
五、拓展延伸
1、已知,如图,∠AOD为钝角,OC⊥OA,OB⊥OD
求证:
∠AOB=∠COD
证明:
∵OC⊥OA,OB⊥OD()
∴∠AOB+∠1=,
∠COD+∠1=90°
(垂直的定义)
∴∠AOB=∠COD()
变式训练:
如图OC⊥OA,OB⊥OD,O为垂足,若∠BOC=35°
则∠AOD=________.
2、已知:
如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.
3、课本中水渠该怎么挖?
在图上画出来.如果图中比例尺为1:
100000,水渠大约要挖多长?
4、如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、点C到AB的距离.
5、如图,直线AB,CD相交于O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°
,求∠BOE和∠AOC的度数。
6、(2001.杭州中考题)如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
一、探索与思考
如图,直线AB、CD与EF相交(或两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)构成个角。
我们来研究其中没有公共顶点的两个角的关系。
(1)
(一)同位角
如图1,∠1和∠5,分别在直线AB、CD的,
在直线EF的。
具有这种位置关系的一对角
叫做同位角。
2、请你找出图中还有哪几对角构成同位角。
3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有对同位角。
(二)内错角
如图2,∠3和∠5,分别在直线AB、CD的,
叫做内错角。
2、请你找出图中还有哪几对角构成内错角。
3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有对内错角
(三)同旁内角
如图2,∠3和∠6,分别在直线AB、CD的,
具有这种位置关系的一对角
叫做同旁内角。
2、请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有对同旁内角
(四)总结:
(1)以上三对角都有一边公共,是第三条直线(截线).
(2)识别“第三条直线(两个角一边所在的同一直线)”是关键.
三、应用
(一)例如图,直线DE、BC被直线AB所截,
(1)∠l与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4各是什么关系的角?
(2)如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?
∠1和∠3互补吗
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