高中数学 14 三角函数的图象与性质教案4 新人教版必修4Word格式文档下载.docx

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（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：

y＝sinx，y＝tanx；

　　偶函数：

y＝cosx.

（2）型三角函数的奇偶性

　　（ⅰ）g（x）＝（x∈R）

g（x）为偶函数

　　由此得

；

　　同理，

为奇函数　　

.

　　（ⅱ）

为偶函数；

为奇函数.

　　3、周期性

（1）基本公式

　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为；

　　y＝tanx，y＝cotx的周期为.

　　（ⅱ）型三角函数的周期

的周期为；

的周期为.

（2）认知

　　（ⅰ）型函数的周期

　　（ⅱ）的周期

的周期为；

　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.

　　（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.

　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.

　　（3）特殊情形研究

　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；

（ⅱ）的最小正周期为；

　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为.　　

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.

　　4、单调性

（1）基本三角函数的单调区间（族）

　　依从三角函数图象识证“三部曲”：

　　①选周期：

在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；

　　②写特解：

在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；

　　③获通解：

在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）

　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.

　　揭示：

上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.

（2）y＝型三角函数的单调区间

　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为

　　①换元、分解：

令u＝，将所给函数分解为内、外两层：

y＝f（u），u＝；

　　②套用公式：

根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用

（1）中公式写出关于u的不等式；

　　③还原、结论：

将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.

　　1、对称轴与对称中心

（1）基本三角函数图象的对称性

　　（ⅰ）　正弦曲线y＝sinx的对称轴为；

　正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0）.

　　（ⅱ）　余弦曲线y＝cosx的对称轴为；

　余弦曲线y＝cosx的对称中心

　　（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；

　正切曲线y＝tanx无对称轴.

　　认知：

　　①两弦函数的共性：

x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；

（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.

　　②正切函数的个性：

　　（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.

（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）

　　（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象

x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；

（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.

（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.

　　2、基本变换

（1）对称变换　

（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移

　　3、y＝的图象

（1）五点作图法

（2）对于A，T，，的认知与寻求：

　①A：

图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；

　　2A：

图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.

　　②：

图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；

：

图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.

　　：

由T＝得出.　　③：

　　解法一：

运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；

　　解法二：

逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.

　　四、经典例题

　　例1、求下列函数的值域：

（1）　

（2）　（3）

　　（4）　　（5）　（6）

　　分析：

对于形如

（1）

（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；

（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；

对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；

（ⅱ）转化为分段函数来处理；

（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.

　　解：

（1）　

　∵

　　∴，　　即所求函数的值域为.

（2）由

∴

　　∴　注意到这里x∈R，，

　　∴

　　∴所求函数的值域为[－1，1].

　　（3）这里

　令sinx＋cosx＝t　则有

　　且由

　　于是有

∵

∴

因此，所求函数的值域为.

（4）注意到这里y>

0，且∵∴即所求函数的值域为.

　　（5）注意到所给函数为偶函数，又当

　∴此时

　　同理，当亦有.　∴所求函数的值域为.

　　（6）令

　则易见f（x）为偶函数，且

　　∴是f（x）的一个正周期.　①　　只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.

　　当x∈[0，]时，

　又注意到，

　　∴x＝为f（x）图象的一条对称轴　②　　

∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.

　　而在[0，]上，

递增.③亦递增④

　　∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.　　

∴　　即⑤

　　于是由①、②、⑤得所求函数的值域为.

　　点评：

解

（1）

（2）运用的是基本化归方法；

解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；

解（4）借助平方转化；

解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.

　　例2、求下列函数的周期：

（1）

（2）；

　　（3）；

　　（4）；

　　（5）

与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.

（1）

　　＝

　　＝

∴所求最小正周期.

（2）

＝　　＝＝

　　∴所求周期.

　　（3）　＝

＝

＝

.注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为.

　　（4）　注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<

0）的解区间重复出现的最小正周期为2.　　∴所求函数的周期为2.

　　（5）

　　注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<

0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为.　　∴所求函数的周期.

对于（5），令　则由知，是f（x）的一个正周期.①

　　又

　∴不是f（x）的最小正周期.②

　　于是由①②知，f（x）的最小正周期为.

　　在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.

请大家研究

的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.

　　例3、已知函数的部分图象，

（1）求的值；

（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.

（1）令，则由题意得f（0）＝1

　　∵　　∴

　　注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法”　得：

　由此解得　∴所求，.

（2）由

（1）得　令，解得，

　　∴函数f（x）图象的对称轴方程为；

令解得，

　　∴函数f（x）图象的对称中心坐标为.

前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：

　　例4、　

（1）函数的单调递增区间为　　　　　　　　。

（2）若函数

上为单调函数，则a的最大值为　　　　　　。

　　（3）　函数的图象的对称中心是　　　　　　　　　　。

　　函数的图象中相邻两条对称轴的距离为　　　　　　。

（4）把函数的图象向左平移m（m>

0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为　　　　　　　　　　。

　　（5）对于函数

，给出四个论断：

　　①它的图象关于直线x＝对称；

　　②它的图象关于点（,0）对称；

　　③它的周期为；

　　④它在区间〔－，0〕上单调递增.

　　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　　　　　。

（1）这里的递增区间的正号递减区间递增且

∴应填

（2）由f（x）递增得

　　易见，

　　由f（x）递减得

　　当k＝0时，　注意到而不会属于其它减区间，　故知这里a的最大值为.

（3）（ⅰ）令

∴所给函数图象的对称中心为（，0）；

　　　　①

　　解法一（直接寻求）　在①中令　则有②

　　又在②中令k＝0得，　　令k＝1得　　∴所求距离为－

　　解法二（借助转化）：

注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为

T＝，故所求距离为.

　　（4）这里将这一函数图象向左平移m（m>

0）个单位，所得图象的函数解析式为　　令

　　则由题设知f（x）为偶函数f（－x）＝f（x）　

∴所求m的最小值为.

　　（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；

一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察

　　①、③②、④与②、③①、④这两种情形.

　　（ⅰ）考察①、③②、④