三角函数图像教案Word格式文档下载.docx
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函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
增:
减:
增
无减区间
对称
中心
对称轴
无
考点2如何求三角函数的值域
1.将化为来求;
2.型可换元转化为二次函数;
3.与同时存在时可换元转化;
4.(或)型,可用分离常数法或由来解决.
类型一求三角函数的定义域和最值
(1)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
(2)函数y=的定义域为______________________.
【规范解答】
(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值.
∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,
∴sin∈.
∴y∈,∴ymax+ymin=2-.
(2)要使函数有意义,必须有,
即
故函数的定义域为{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}.
【总结与反思】
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图像来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asinxcosx+b(sinx±
cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±
cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
类型二三角函数的单调性、周期性
写出下列函数的单调区间及周期:
(1)y=sin;
(2)y=|tanx|.
(1)y=-sin,
它的增区间是y=sin的减区间,
它的减区间是y=sin的增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的减区间为,k∈Z;
增区间为,k∈Z.
最小正周期T==π.
(2)观察图像可知,y=|tanx|的增区间是,k∈Z,减区间是,k∈Z.
最小正周期T=π.
(1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>
0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<
0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图像,结合图像判定.
类型三三角函数的奇偶性和对称性
(1)已知f(x)=sinx+cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,则φ的值为________.
(2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
(1)f(x)=2sin,
y=f(x+φ)=2sin图像关于x=0对称,
即f(x+φ)为偶函数.
∴+φ=+kπ,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,
又∵|φ|≤,∴φ=.
(2)由题意得3cos=3cos
=3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.
若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.
若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.
如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.
如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
类型四三角函数的单调性、对称性
(1)已知ω>
0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
(2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)成立,且f()=1,则实数b的值为.
(1)由<
x<
π得ω+<
ωx+<
πω+,
由题意知(ω+,πω+)⊆[,],
∴,∴≤ω≤,故选A.
(2)由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±
2+b=1,∴b=-1或b=3.
(1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;
其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.
(2)函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像与其对称轴的交点是最值点.
四、课堂运用
1.函数y=cos(-2x)的单调减区间为________.
2.函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的最大值为________.
3.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>
0,|φ|<
),y=f(x)的部分图像如图,则f()=________.
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】由y=cos(-2x)=cos(2x-)得
2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
2.【答案】同解析
【解析】由正弦函数的图像知(b-a)max=-=.
3.【答案】同解析
【解析】由题中图像可知,此正切函数的半周期等于-=,即最小正周期为,
所以ω=2.由题意可知,图像过定点(,0),
所以0=Atan(2×
+φ),即+φ=kπ(k∈Z),
所以φ=kπ-(k∈Z),
又|φ|<
,所以φ=.
又图像过定点(0,1),所以A=1.
综上可知,f(x)=tan(2x+),
故有f()=tan(2×
+)=tan=.
1.设函数f(x)=sin(-π<
φ<
0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
2.设函数f(x)=sin(-)-2cos2+1.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称,求当x∈[0,]时,y=g(x)的最大值.
【解析】
(1)令2×
+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,
又-π<
0,则φ=-.
(2)由
(1)得:
f(x)=sin,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
因此y=f(x)的单调增区间为,k∈Z.
(1)f(x)=sincos-cossin-cos
=sin-cos
=sin(-),
故f(x)的最小正周期为T==8.
(2)方法一 在y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),
它关于x=1的对称点(2-x,g(x)).
由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图像上,
从而g(x)=f(2-x)=sin[(2-x)-]
=sin[--]
=cos(+).
当0≤x≤时,≤+≤,
因此y=g(x)在区间[0,]上的最大值为
g(x)max=cos=.
方法二 区间[0,]关于x=1的对称区间为[,2],
且y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称,
故y=g(x)在[0,]上的最大值为
y=f(x)在[,2]上的最大值.
由
(1)知f(x)=sin(-),
当≤x≤2时,-≤-≤.
因此y=g(x)在[0,]上的最大值为
g(x)max=sin=.
1.设.
(1)求的定义域;
(2)求的值域及取最大值时x的值.
2.已知函数.
(1)求的值;
(2)试写出一个函数,使得,并求的单调区间.
(1)由1-2sinx≥0,根据正弦函数图像知:
定义域为.
(2)因为-1≤sinx≤1,所以-1≤1-2sinx≤3,
因为1-2sinx≥0,所以0≤1-2sinx≤3,
所以f(x)的值域为[0,],当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值.
(1)因为f(x)=sin,所以f=sin=sin=.
(2)g(x)=cosx-sinx.理由如下:
因为g(x)f(x)=(cosx-sinx)(sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x,
所以g(x)=cosx-sinx符合要求.
又g(x)=cosx-sinx=cos,
由2kπ+π<
x+<
2kπ+2π,得2kπ+<
2kπ+,k∈Z.
所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
课程小结
1.正弦函数的图象及性质.
2.余弦函数的图象及性质.
3.正切函数的图象及性质.
六、课后作业
1.函数y=的定义域是.
2.设函数f(x)=3sin(x+),若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________.
3.已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题:
①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
②f(x)的最小正周期是2π;
③f(x)在区间[-,]上是增函数;
④f(x)的图像关于直线x=对称.
其中真命题是________.
1.【答案】[kπ,kπ+](k∈Z)
【解析】|sinx+cosx|-1≥0⇒(sinx+cosx)2≥1
⇒sin2x≥0,∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,
故原函数的定义域是[kπ,kπ+](k∈Z).
2.【答案】2
【解析】f(x)=3sin(x+)的周期T=2π×
=4,
f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值,
故|x1-x2|的最小值为=2.
3.【答案】③④
【解析】 f(x)=sin2x,当x1=0,x2=时,
f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命题;
f(x)的最小正周期为π,故②是假命题;
当x∈[-,]时,2x∈[-,],故③是真命题;
因为f()=sinπ=-,
故f(x)的图像关于直线x=π对称,故④是真命题.
1.已知函数f(x)=sin2x-cos2x+1.
(1)当x∈[,]时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求f(x)的单调区间.
2.已知a>
0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
(2)设g(x)=f且lgg(x)>
0,求g(x)的单调区间.
(1)f
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