最新初三数学寒假辅导讲义 第1讲 三角形 提高班 教师版Word文档下载推荐.docx
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理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定
能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题
会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题
全等三角形
了解全等三角形的概念,了解相似三角形与全等三角形之间的关系
掌握两个三角形全等的条件和性质;
会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题
会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题
勾股定理及其逆定理
已知直角三角形的两边长,会求第三边长
会用勾股定理及其逆定理解决简单问题
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;
会利用三角形的相似解决一些实际问题
锐角三角函数
了解锐角三角函数();
知道角的三角函数值
由某个角的一个三角函数值,会求这个角的其余两个三角函数值;
会计算含有
角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名:
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能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题
解直角三角形
知道解直角三角形的含义
会解直角三角形;
能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形;
会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题
能综合运用直角三角形的性质解决有关问题
一、等腰三角形
①等腰三角形的两大特性.
图形
特性
“等腰三角形中的三线合一”
“底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”
②构造等腰三角形.
“垂直平分线造等腰”
“平行线加角平分线”
“平行线截等腰三角形”
“圆构造等腰”
③特殊等腰三角形.
三边之比
二、直角三角形
1.直角三角形的边角关系.
①.直角三角形的两锐角互余.②.三边满足勾股定理.③.边角间满足锐角三角函数.
2.特殊直角三角形
“等腰直角三角形”
“含和的直角三角形”
边的比:
3.直角三角形中的特殊线.
“直角三角形斜边中线”
“直角三角形斜边高”
三.尺规构造等腰三角形和直角三角形
问题
作图
求点坐标
“万能法”
其他方法
等腰三角形
已知点A、B和直线l,在l上求点P,使为等腰三角形
“两圆一垂”
分别表示出点A、B、P的坐标,再表示出线段AB、BP、AP的长度,由①AB=AP②AB=BP
③BP=AP列方程解出坐标
作等腰三角形底边的高,用勾股或相似建立等量关系
直角三角形
已知点A、B和直线l,在l上求点P,使为直角三角形
“两垂一圆”
分别表示出点A、B、P的坐标,再表示出线段AB、BP、AP的长度,由
①
②
③
列方程解出坐标
作垂线,用勾股或相似建立等量关系
四.全等三角形
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
全等三角形的判定:
⑴SSS;
⑵SAS;
⑶ASA;
⑷AAS;
⑸HL.
在证明图形的线或角关系时,通常需要将全等与图形变换(旋转、平移、轴对称等)相结合.
五.相似三角形
相似三角形的性质:
⑴相似三角形的对应角相等,对应边成比例,其比值称为相似比.
⑵相似三角形对应高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
相似三角形的判定:
⑴平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似;
⑵两角对应相等,两三角形相似;
⑶两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
⑷三边对应成比例,两三角形相似.
相似三角形的基本模型:
【编写思路】由于三角形的知识点非常多,本讲只针对三角形中的重要考点来编写的,侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形,由于相似三角形在中考中考察的分值较少,而且简单,所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习,不对学生做太高要求.
另外,我们在每一讲中,针对当前考试的热点和难点,设计一种“系列探究”,使得每一讲有一个复习亮点,为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是:
由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.
【例1】
(1)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是
两格点,如果C也是图中的格点,且使得为等腰三角形,则点C的
个数是()
A.6B.7C.8D.9
(2)在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点在轴上,且
是直角三角形,则满足条件的点的坐标为.
(2010顺义一模)
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(3)已知:
如图,在中,,点在边上,点在边的延长线上,且,
连接交于.
求证:
.(2012海淀期中)
(4)如图所示,在△ABC中,BC=6,E,F分别是AB,AC的中点,点P在射线EF上,BP交CE于D,点Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=,PE=.当CQ=CE时,与之间的函数关系式是.
【解析】
(1)C,“两圆一垂”;
(2)(0,0),(0,10),(0,2),(0,8).“两垂一圆”确定四个点之后,用勾股求得;
(3)证明:
过D点作AC的平行线交BC于点G,
则∠B=∠ACB=∠BGD;
∴BD=DG=CE;
易证△DFG≌△EFC;
∴DF=EF.
注:
本题方法很多,还可以过D作BC平行线,或过E作AB的平行线,由“平行线截等腰三角形”得新等腰三角形.
(4)y=–x+6;
提示:
延长BQ与射线EF相交,由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.
【例2】
(1)如图,正方形的边长为2,将长为2的线段的
两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点从点出发,沿
图中所示方向按滑动到点为止,同时点
从点出发,沿图中所示方向按滑动到
点为止,那么在这个过程中,线段的中点所经过的路线围
成的图形的面积为()(2010宣武一模)
A.2B.4-C.D.
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、
y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,
在运动过程中,点B到原点的最大距离是()
A.B.C.D.6
(2010西城二模)
以下探究主题为:
几何最值问题
【探究1】如图,为等边三角形,边长AB=4,点A、C分别在x轴、y
轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,
点B到原点的最大距离是________.
【探究2】如图,在中,∠C=90°
,AC=4,BC=3,点A、C分别在x轴、
在运动过程中,点B到原点的最小距离是__________.
【探究3】如图,在Rt中,∠ACB=90°
,∠B=30°
,CB=,
点D是平面上一点且CD=2,点P为线段AB上一动点,当△
ABC绕点C任意旋转时,在旋转过程中线段DP长度的最大值
为_______,最小值为_______.
(1)C,由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一半,于是M的轨迹围成一个半径为1的圆;
(2)A,如右图1,取AC中点D,连结OD、BD,当O、D、B三点共线时,OB的值最大;
探究1:
,方法同上,取AC中点D,连结OD、BD,当O、D、B三点共线时,OB的值最大;
探究2:
如右图2,取AC中点D,连结OD、BD,当O、D、B三点共线时,OB的值最小,最小值为;
探究3:
“△ABC绕点C旋转”等价于“CD绕点C旋转”,如下图1,连结CP,当PD=PC+CD时,
PD最大,当PD=︱PC-CD︱时,PD最小.如图2,当P与B重合,PD取最大值为,如
图3,当CP⊥AB时,PD取最小值为.
【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法(仅供参考):
(1)将动线段作为一个三角形的一边,且另两边为定值,但是形状可变化,如下左图,“外共线”值最大,“内共线”值最小(已知AB、BP为定值,求动线段AP的最大或最小值);
(2)如下右图,垂线段最短,端点处最大(已知点P是线段BC上的动点,求线段AP的最大或最
小值).
【例3】△ABC与△CDE均为等边三角形,点C为公共顶点,连结AD、BE相交于点P,BE交AC于点M,AD交CE于点N,
(1)如图1,当点B、C、D在同一直线上,请证明以下结论:
①AD=BE;
②连结PC,则PC平分∠BPD;
③;
④连结MN,则△MCN为等边三角形;
⑤PB=PA+PC,PD=PE+PC
(⑥连结AE,点P为△ACE的费马点.学生版上没有)
(2)如图2,当△CDE绕点C旋转任意角度时,
(1)中的5个结论仍成立吗?
(1)由可得①;
过点C分别作AD、BE边上的高,由“全等三角形面积相等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等,证得②;
由“八”字模型倒角证得③;
由或者得CN=CM,证得④;
由,在四边形ABCP和EDCP中利用旋转可证得⑤;
由⑤中的结论可知PA+PC+PE=BE,,点P到△ACE的三个顶点的距离和最小,即可证得⑥.
(2)结论①②③⑤⑥均成立.
【例4】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(),将线段BC绕点B逆时针旋转60°
得到线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°
,∠ABE=60°
,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°
,求的值.(2013北京中考)
(1);
(2)为等边三角形,连接、、
∵线段绕点逆时针旋转得到线段
则,
又∵
∴且为等边三角形.
在与中
∴≌(SSS)∴
∵∴
∴≌(AAS)∴∴为等边三角形
(3)∵,∴
又∵∴为等腰直角三角形∴
∵
∴而∴
【点评】第
(2)问考察的是一类由旋转形成的全等模型,如图,若
①为等腰三角形(AB=AC);
②为等腰三角形(AD=AE);
③
以上三个命题有二推一,通常两个三角形为等边三角形.此题欲证
为等边三角形,已知为等边三角形,则需证≌即可.
【例5】
(1)已知在△ABC中,BC=a.如图1,点B1、C1分别是AB、AC的中点,则线段B1C1的长是_______;
如图2,点B1、B2,C1、C2分别是AB、AC的三等分点,则线段B1C1+B2C2的值是__________;
如图3,点,分别是AB
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