九年级中考数学复习练习类型二圆与直角三角形worWord格式文档下载.docx
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(2)已知:
=2,求cos∠BCA的值.
第4题图
5.(2017南雅第七次阶段检测)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,连接CO并延长,交⊙O于点D、E,连接AD并延长,交BC于点F,连接BD、BE.
(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等,并证明你的结论;
(2)求证:
=;
(3)若BC=AB,求tan∠CDF的值.
第5题图
6.(2017娄底)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,以BC为直径的⊙O交AB于点D,点E是AC的中点,OE交CD于点F.
(1)若∠BCD=36°
,BC=10,求的长;
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)求证:
2CE2=AB·
EF.
第6题图
7.(2017青竹湖湘一二模)如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且点C是劣弧AG的中点,过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.
CD是⊙O的切线;
(2)若ED=DB,求证:
3OF=2DF;
(3)在
(2)的条件下,连接AD,若CD=3,求AD的长.
第7题图
答案
1.解:
(1)BC与⊙O相切.理由如下:
如解图,连接AE,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠E=90°
,
∴∠EAD+∠AFE=90°
∵BF=BC,
∴∠BCE=∠BFC,
∵点E为的中点,
∴=,
∴∠EAD=∠ACE,
∴∠ACB=∠BCE+∠ACE=∠BFC+∠EAD=∠EAD+∠AFE=90°
∴AC⊥BC,
∵AC为⊙O的直径,
∴BC与⊙O相切;
(2)∵⊙O的半径为2,
∴AC=4,
∵∠ACB=90°
∴sinB==,
∴AB=5,
∴BC==3,
∴BF=3,AF=5-3=2,
∵∠EAF=∠ECA,∠E=∠E,
∴△AEF∽△CEA,
∴===,
∴EC=2EA,
设EA=x,则EC=2x,
在Rt△AEC中,由勾股定理得:
AE2+EC2=AC2,即x2+4x2=16,
解得x1=,x2=(舍去),
∴EA=,CE=.
2.证明:
(1)如解图,连接OB,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴OA⊥AP,OB⊥BP,
又∵OA=OB,
∴PO平分∠APC;
(2)∵OA⊥AP,OB⊥BP,
∴∠CAP=∠OBP=90°
∵∠C=30°
∴∠APC=90°
-∠C=90°
-30°
=60°
∵PO平分∠APC,
∴∠OPC=∠APC=×
60°
=30°
∴∠POB=90°
-∠OPC=90°
又∵OD=OB,
∴△ODB是等边三角形,
∴∠OBD=60°
∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°
-60°
∵∠DBP=∠C,
∴DB∥AC.
3.
(1)证明:
如解图,连接OD,
∴OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵AC=BC,
∴∠A=∠OBD,
∴∠ODB=∠A,
∴AC∥OD,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∵OD为⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:
∵∠A=60°
,AC=BC,OB=OD,
∴∠C=∠DOB=60°
由
(1)知∠ODG=90°
∴∠G=30°
∵OD=6,
∴DG===6,
∴S阴影=S△ODG-S扇形DOB=×
6×
6-=18-6π.
4.
(1)证明:
如解图,连接OB、OP,
在△OBP和△OAP中,,
∴△OBP≌△OAP(SSS),
∴∠PBO=∠PAO,
∵PA⊥CA,
∴∠PAC=90°
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴OB⊥PB,
∵OB是⊙O的半径;
∴直线PB是⊙O的切线;
由
(1)可知△OBP≌△OAP,
∴∠POB=∠POA,
∴∠BCA=∠AOB=∠POB=∠POA,
∴BC∥PO,
∴==2,
设BP=a,BD=2a,
∴PA=a,
由勾股定理得:
DA==2a,
∴DC=a,AO=CO=a.
PO==a,
∴cos∠BCA=cos∠POA==.
5.
(1)解:
∠CBD=∠CEB,证明如下:
∵AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,
∴∠CBD=90°
-∠OBD,
又∵DE过⊙O的圆心,
∴∠DBE=90°
,OB=OD,
∴∠CEB=90°
-∠ODB,∠ODB=∠OBD,
∴∠CBD=∠CEB;
(2)证明:
∵在△CBD和△CEB中,
∵∠CBD=∠CEB,∠C=∠C,
∴△CBD∽△CEB,
∴=;
(3)解:
∵BC=AB,OB=AB,
∴在Rt△OBC中,OC=AB,
∴CD=OC-OD=AB,
∵DE是⊙O的直径,
∵∠CDF=∠ADE=∠ABE=∠BED,
∴tan∠CDF=tan∠BED====.
6.
(1)解:
∵∠BCD=36°
∴∠BOD=2∠BCD=2×
36°
=72°
∵BC是⊙O的直径,且BC=10,
∴l==2π;
DE是⊙O的切线.理由如下:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠ADC=180°
-∠BDC=90°
又∵点E是线段AC的中点,
∴DE=AE=EC=AC,
在△DOE与△COE中,
∵,
∴△DOE≌△COE,
∴∠ODE=∠OCE=90°
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(3)证明:
∵△DOE≌△COE,
∴OE是线段CD的垂直平分线,DE=CE,∠EFC=90°
∴点F是线段CD的中点,
∵点E是线段AC的中点,
∴EFAD,∠ADC=∠EFC=90°
在△ACD与△ABC中,
∠BAC=∠CAD,∠ADC=∠ACB,
∴△ACD∽△ABC,
则=,即AC2=AB·
AD,
又∵AC=2CE,AD=2EF,
∴(2CE)2=AB·
2EF,
即4CE2=AB·
∴2CE2=AB·
EF.
7.
(1)证明:
如解图①,连接OC、AC、CG,
∵=,
∴AC=CG,
∴∠ABC=∠CBG,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB=∠CBG,
∴OC∥BG,
∵CD⊥BG,
∴OC⊥CD,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
∵OC∥BD,
∴∠CFO=∠DFB,∠OCB=∠CBD,∠EOC=∠EBD,
∴△OCF∽△DBF,△EOC∽△EBD,
∴=,=,
∵ED=DB,∠EDB=90°
∴∠E=30°
∴OC=OE,
∵OA=OC,
∴AE=OA=OC=OB,
即3OF=2DF;
如解图②,过A作AH⊥DE,交DE于点H,
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°
∵∠ABC=∠CBD,
∴∠CBD=∠EBD=30°
∵CD=3,
∴BD==3,
∴BE==6,DE=BD=9,
∵AE=BE,AH∥BD,
∴AH=BD=,DH=DE=6,
∴AD==.
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