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一、组合问题
日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.
一般地,从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数.记作.
一般地,求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步:
第一步:
从个不同元素中取出个元素组成一组,共有种方法;
第二步:
将每一个组合中的个元素进行全排列,共有种排法.
根据乘法原理,得到.
因此,组合数.
这个公式就是组合数公式.
二、组合数的重要性质
一般地,组合数有下面的重要性质:
()
这个公式的直观意义是:
表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法.表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法.显然,从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法.
例如,从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的,即.
规定,.
模块一、组合及其应用
【例1】计算:
⑴,;
⑵,.(2级)
【小结】注意到上面的结果中,有,.
【例2】计算:
⑴;
⑵;
⑶.(2级)
【巩固】计算:
【例3】6个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?
(2级)
【巩固】某班毕业生中有名同学相见了,他们互相都握了一次手,问这次聚会大家一共握了多少次手?
【例4】(难度等级※※)学校开设门任意选修课,要求每个学生从中选学门,共有多少种不同的选法?
(4级)
【例5】某校举行排球单循环赛,有个队参加.问:
共需要进行多少场比赛?
【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛,有个队参加.问:
【例6】一批象棋棋手进行循环赛,每人都与其他所有的人赛一场,根据积分决出冠军,循环赛共要进行78场,那么共有多少人参加循环赛?
【例7】某校举行男生乒乓球比赛,比赛分成3个阶段进行,第一阶段:
将参加比赛的48名选手分成8个小组,每组6人,分别进行单循环赛;
第二阶段:
将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组,每组人,分别进行单循环赛;
第三阶段:
由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛,确定至名的名次.问:
整个赛程一共需要进行多少场比赛?
【例8】从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的乘法题,问:
⑴有多少个不同的乘积?
⑵有多少个不同的乘法算式?
(6级)
【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字,一共有多少种方法?
【巩固】从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的加法题,有多少种不同的和?
【例9】在中任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法?
【巩固】从、、……、、这个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少?
【例10】一个盒子装有个编号依次为,,,,的球,从中摸出个球,使它们的编号之和为奇数,则不同的摸法种数是多少?
【例11】用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?
用个,个,个可以组成多少个互不相同的六位数?
【例12】从,,,,中任取三个数字,从,,,中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?
【例13】从、、、、、、这七个数字中,任取3个组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
(这里每个数字只允许用次,比如100、210就是可以组成的,而211就是不可以组成的).(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级)(4级)
【例14】用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?
用2个0,2个1,2个2可以组成多少个互不相同的六位数?
【巩固】用两个3,一个2,一个1,可以组成多少个不重复的4位数?
【例15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品,从这10件产品中任意抽出3件进行检查,问:
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?
【例16】200件产品中有5件是次品,现从中任意抽取4件,按下列条件,各有多少种不同的抽法(只要求列式)?
⑴都不是次品;
⑵至少有1件次品;
⑶不都是次品.(6级)
【例17】在一个圆周上有个点,以这些点为端点或顶点,可以画出多少不同的:
⑴直线段;
⑵三角形;
⑶四边形.(6级)
【巩固】平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
【巩固】在正七边形中,以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个?
【例18】平面内有个点,其中点共线,此外再无三点共线.
⑴可确定多少个三角形?
⑵可确定多少条射线?
【巩固】如图,问:
⑴图中,共有多少条线段?
⑵图中,共有多少个角?
图 图
【例19】某班要在名同学中选出名同学去参加夏令营,问共有多少种选法?
如果在人中选人站成一排,有多少种站法?
【巩固】学校新修建的一条道路上有盏路灯,为了节省用电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的方法共有多少种?
【例20】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排,要求三盘红花互不相邻,共有__________种不同的方法.(2007年“希望杯”第一试)(4级)
【例21】在一次合唱比赛中,有身高互不相同的8个人要站成两排,每排4个人,且前后对齐.而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高,这样才不会被挡住.一共有多少种不同的排队方法?
【例22】在一次考试的选做题部分,要求在第一题的个小题中选做个小题,在第二题的个小题中选做个小题,在第三题的个小题中选做个小题,有多少种不同的选法?
【例23】某年级个班的数学课,分配给甲、乙、丙三名数学老师任教,每人教两个班,分派的方法有多少种?
【例24】(2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入的方格网内,每个方格至多只放一枚棋子,且每行每列的棋子个数均为奇数个,那么共有________种不同的放法.(4级)
【例25】甲射击员在练习射击,前方有三种不同类型的气球,共3串,有一串是红气球3个,有一串是黄气球2个,有一串是绿气球4个,而且每次射击必须射最下面的气球,问有多少种不同的射法?
【例26】有8个队参加比赛,采用如下图所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛安排表?
【例27】某池塘中有三只游船,船可乘坐人,船可乘坐人,船可乘坐人,今有个成人和个儿童要分乘这些游船,为安全起见,有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同,那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种?
【例28】有蓝色旗面,黄色旗面,红色旗面.这些旗的模样、大小都相同.现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号,如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号,那么利用这些旗能表示多少种不同信号?
(4级)
【例29】从名男生,名女生中选出人参加游泳比赛.在下列条件下,分别有多少种选法?
⑴恰有名女生入选;
⑵至少有两名女生入选;
⑶某两名女生,某两名男生必须入选;
⑷某两名女生,某两名男生不能同时入选;
⑸某两名女生,某两名男生最多入选两人.(6级)
【例30】从名男生,名女生中选出名代表.
⑴不同的选法共有多少种?
⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种?
⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种?
【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各一名,现要组成5人医疗小组送医下乡,按照下列条件各有多少种选派方法?
⑴有3名内科医生和2名外科医生;
⑵既有内科医生,又有外科医生;
⑶至少有一名主任参加;
⑷既有主任,又有外科医生.(8级)
【例31】在10名学生中,有5人会装电脑,有3人会安装音响设备,其余2人既会安装电脑,又会安装音响设备,今选派由人组成的安装小组,组内安装电脑要人,安装音响设备要人,共有多少种不同的选人方案?
(8级)
【例32】有11名外语翻译人员,其中名是英语翻译员,名是日语翻译员,另外两名英语、日语都精通.从中找出人,使他们组成两个翻译小组,其中人翻译英文,另人翻译日文,这两个小组能同时工作.问这样的分配名单共可以开出多少张?
【巩固】某旅社有导游人,其中人只会英语,人只会日语,其余个既会英语又会日语.现要从中选人,其中人做英语导游,另外人做日语导游.则不同的选择方法有多少种?
板块二、排除法
对于某些有特殊要求的计数,当限制条件较多时,可以先计算所有可能的情况,再从中排除掉那些不符合要求的情况.
【例33】如图所示,在半圆弧及其直径上共有9个点,以这些点为顶点可画出多少个三角形?
【例34】如图,正方形的边界上共有7个点、、、、、、、其中、、分别在边、、上.以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____个.(小学数学奥林匹克决赛)(6级)
【巩固】图中正方形的四边共有8个点,其中任意4点不在一条直线上,那么可组成多少个四边形?
【例35】如图,有个点,取不同的三个点就可以组合一个三角形,问总共可以组成____个三角形.(4级)
【例36】在的所有自然数中,百位数与个位数不相同的自然数有多少个?
【例37】1到1999的自然数中,有多少个与5678相加时,至少发生一次进位?
【巩固】所有三位数中,与456相加产生进位的数有多少个?
【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少发生一次进位?
【例38】在三位数中,至少出现一个6的偶数有多少个?
【例39】由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个.(6级)
【例40】从三个
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