第三章微分中值定理与导数的应用.doc
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高等数学教案第三章微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用
教学目的:
1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点:
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理;
2、函数的极值,判断函数的单调性和求函数极值的方法;
3、函数图形的凹凸性;
4、洛必达法则。
教学难点:
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用;
2、极值的判断方法;
3、图形的凹凸性及函数的图形描绘;
4、洛必达法则的灵活运用。
§3.1微分中值定理
一、教学目的与要求:
1.掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论,强调定理的条件是充分而非必要的;
2.会验证中值定理的正确性,掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的方法(关键是构造辅助函数);
3.理解三个中值定理之间的关系。
二、重点、难点:
中值定理的应用
三、主要外语词汇:
Fermat,Rolle,Lagrange,Cauchy,Mediumvalueaxioms,Leadareason,shutzone,openzone.
四、辅助教学情况:
多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):
同济大学《高等数学》第五版
一、罗尔定理
费马引理
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意xÎU(x0),有
f(x)£f(x0)(或f(x)³f(x0)),
那么f¢(x0)=0.
罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少在一点x,使得f¢(x)=0.
简要证明:
(1)如果f(x)是常函数,则f¢(x)º0,定理的结论显然成立.
(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点xÎ(a,b).于是
所以f¢(x)=0.
罗尔定理的几何意义:
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点x(a f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a) 成立. 拉格朗日中值定理的几何意义: f¢(x)=, 定理的证明: 引进辅函数 令j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件: j(a)=j(b)=0,j(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且 j¢(x)=f¢(x)-. 根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点x,使j¢(x)=0,即 f¢(x)-=0. 由此得=f¢(x), 即f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a). 定理证毕.
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