届一轮复习人教A版不等式不等关系学案Word文件下载.docx
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①作差
②变形
③判断符号
④下结论
①作商
③判断商值与1的大小
①乘方
②用作差比较法或作商比较法
3.常用的不等式的基本性质:
(1)如果a>
b,c>
d,则a+c>
b+d;
(2)如果a>
b>
0,c>
d>
0,则ac>
bd;
(3)如果a>
0,则an>
bn(n∈N+);
(4)如果a>
0,则
(n∈N+).
4.一个重要结论
一般地,设a,b为正实数,且a<
b,m>
.
Y
1.设b<
a,d<
c,则下列不等式中一定成立的是( C )
A.a-c>
b-d B.ac>
bd
C.a+c>
b+d D.a+d>
b+c
[解析] ∵b<
c,∴b+d<
a+c.
2.a2与a3的大小关系是( D )
A.a2>
a3
B.a2=a3
C.a2<
D.不能确定,与a的值有关
[解析] ∵a2-a3=a2(1-a),
∴当a=0或a=1时a2=a3,
当a<
0时,a2>
a3,
当0<
1时,a2>
当a>
1时,a3>
a2
故选D.
3.设x<
0,则下列各不等式一定成立的是( B )
A.x2<
ax<
a2 B.x2>
ax>
C.x2<
a2<
ax D.x2>
ax
[解析]
⇒
⇒x2>ax>a2.故选B.
4.若a、b是任意实数,且a>
b,则( D )
b2 B.
1
C.lg(a-b)>
0 D.
[解析] a>
b并不保证a、b均为正数,从而不能保证A、B成立.又a>
b⇒a-b>
0,但不能保证a-b>
1,从而不能保证C成立,显然只有D成立.事实上,指数函数y=
x在x∈R上是减函数,所以a>
b⇒
b成立.故选D.
5.设1<
7,1<
b<
2,则
的取值范围是(
,7).
[解析] 由1<
2得
1,又1<
7,
∴
7.
H
命题方向1 ⇨用不等式表示不等关系
例题1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.试写出满足上述所有不等关系的不等式.
[分析] 应先设出相应变量,找出其中的不等关系,即①两种钢管的总长度不能超过4000mm;
②截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;
③两种钢管的数量都不能为负.于是可列不等式组表示上述不等关系.
[解析] 设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根,依题意,可得不等式组:
,即
『规律总结』 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤:
(1)审题.通读题目,分清楚已知量和待求量,设出待求量.
(2)列不等关系.列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件).
(3)列不等式(组).挖掘题意,建立已知量和待求量之间的关系式,并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).
〔跟踪练习1〕
某商家准备在“双十一”进行商品降价酬宾活动,方案如下:
(1)购买不超过100元的商品,商品九折销售;
(2)购买超过100元但不超过500元的商品,100元部分九折销售,超过100元部分八折销售;
(3)购买超过500元的商品,不超过500元部分按
(2)销售,剩余部分七五(75%)折销售.某人打算在该商家购买商品,且希望得到至少200元的优惠,则他需要花费的钱数x(单位:
元)所满足的条件是90+0.25(x-500)≥200.
[解析] 不超过100元的商品最多优惠10元,不超过500元的商品最多优惠10+80=90元,因此要得到至少200元的优惠,至少要超过500元,因此需要花费的钱数x满足的条件是90+0.25(x-500)≥200.
命题方向2 ⇨不等式的基本性质
例题2 对于实数a、b、c,有下列命题
①若a>b,则ac<bc;
②若ac2>
bc2,则a>
③若a<
0,则a2>
ab>
b2;
④若c>
0;
则
;
⑤若a>
b,
,则a>
0,b<
0.
其中真命题的个数是( C )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] ①c的正、负或是否为零未知,因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据,故该命题是假命题.
②由ac2>
bc2知c≠0,所以c2>
0,所以a>
故该命题是真命题.
③
⇒a2>
ab,
⇒ab>
b2,所以a2>
b2.故该命题为真命题.
④a>
b⇒-a<
-b⇒c-a<
c-b.
因为c>
a,所以c-a>
0.所以0<
c-a<
两边同乘以
,得
又因为a>
0,所以
.故该命题为真命题.
⑤a>
0,
-
0⇒
0.因为a-b>
0,所以b-a<
0.所以ab<
b,所以a>
0,故该命题为真命题.
综上可知,命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.
『规律总结』 通过本例,可以使我们熟悉不等式的基本性质,更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中,乘法性质的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除)以一个数时,必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定.
〔跟踪练习2〕
判断下列各题的对错.
(1)
且c>
b( ×
)
(2)a>
b且c>
d⇒ac>
bd( ×
(3)a>
0且c>
( √ )
(4)
⇒a>
b( √ )
[解析]
(1)
,
当a<
0时,此式成立,推不出a>
∴
(1)错;
(2)当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,
命题显然不成立,∴
(2)错;
(3)
成立.
∴(3)对;
(4)显然c2>
0,∴两边同乘以c2,得a>
b.∴(4)对.
命题方向3 ⇨运用作差法比较大小
例题3 已知x∈R,比较(x+1)(x2+
+1)与(x+
)(x2+x+1)的大小.
[分析] 直接作差需要将(x+1)(x2+
)(x2+x+1)展开,过程复杂,式子冗长,可否考虑根据两个式子特点,予以变形,再作差.
[解析] ∵(x+1)(x2+
+1)=(x+1)(x2+x+1-
)=(x+1)(x2+x+1)-
(x+1),
(x+
)(x2+x+1)=(x+1-
)(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)-
(x2+x+1),
∴(x+1)(x2+
+1)-(x+
)(x2+x+1)
=
(x2+x+1)-
x(x+1)=
则有x∈R时,(x+1)(x2+
+1)>
)(x2+x+1)恒成立.
『规律总结』 1.有的问题直接作差不容易判断其符号,这时可根据两式的特点考虑先变形,化简到比较易于判断符号时,再作差,予以比较,如此例就是先变形,再作差.
2.变形的方法
〔跟踪练习3〕
已知x<
1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
[解析] x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)
=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)[
2+
]
∵x<
1,∴x-1<
又∵
∴(x-1)[
]<
∴x3-1<
2x2-2x.
命题方向4 ⇨运用作商法比较大小
例题4 设a>
0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
[分析] 根据同底数幂的运算法则,可考虑作商比较法.
=aa-b·
bb-a=(
)a-b,
0时,
1,a-b>
则(
)a-b>
1,于是aabb>
abba.
当b>
0时,0<
1,a-b<
综上所述,对于不相等的正数a、b,都有aabb>
〔跟踪练习4〕
比较1816与1618的大小.
=(
)16
)16(
)16=(
)16.
∵
∈(0,1),
∴(
)16<
1.
∵1618>
0,∴1816<
1618.
命题方向5 ⇨证明不等式
例题5 若a>
0,c<
d<
0,求证:
[分析] 已知的两个不等式为异向不等式,所以必定要转化为同向不等式,才能用不等式的基本性质;
已知不等式为整式,而要证的不等式为分式,所以必定要两边同除以一个不为0的数(或同乘以一个数的倒数).
[证明]
⇒-ac>
-bd.
又c<
0,d<
⇒-
『规律总结』 本题的难点在于寻找由已知证结论的合理“线路”,而要寻找到合理“线路”,就要消灭已知与结论的差异(已知为整式,结论为分式),统一形式,因此可以倒推,把结论中的不等式变形为整式,以启发思路.
〔跟踪练习5〕
已知
,bc>
ad,证明:
[证明] 因为
所以
所以ab>
命题方向6 ⇨应用不等式的性质讨论范围
例题6 设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
[分析] 1.在研究范围问题时,一定要看清变量间有无内在联系,要确定准独立变量,以免产生错误.
2.在求解某些有关联的未知数范围时,因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的范围改变,出现错误,因此要尽可能少地运用不等式的可加性求范围.
[解析] 解法一:
(待定系数法):
设f(-2)=4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
解得
所以f(-2)=3(a-b)+(a+b).
又因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.
因为2≤a+b≤4.
所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.
即5≤f(-2)≤10.
解法二:
设
即a=
,b=
所以f(-2)=4a-2b=2(x+y)-(y-x)=3x+y,
而1≤x=a-b≤2,2≤y=a+b≤4,
所以5≤f(-2)≤10.
『规律总结』 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题,对于这类问题要注意“同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)”,这种转化不是等价变形,在一个解题过程中多次使用这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围.解题时务必小心谨慎,先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过一次性不等关系的运算,求得待求的范围,这是避免犯错的一条途径.
〔跟踪练习6〕
已知-
≤α<
β≤
,求
的取值范围.
[解析] ∵-
≤
,-
将两式相加得,-
∵-
≤-
∴-
又α<
β,
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