直线与圆锥曲线的综合问题资料Word格式文档下载.docx
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(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连结AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?
并说明理由.
题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题
例2 设椭圆C:
+=1(a>
0)的左,右焦点分别为F1,F2,且焦距为6,点P是椭圆短轴的一个端点,△PF1F2的周长为16.
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标.
点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程,弦长,弦的位置确定,弦中点坐标轨迹等问题,解决这些问题的总体思路是设相关量,找等量关系,利用几何性质列方程(组),不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系,使问题解决.
变式训练2 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.
(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.
高考题型精练
1.(2015·
北京)已知椭圆C:
x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.
2.如图,已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO、BO分别交直线l:
y=x-2于M、N两点,求MN的最小值.
3.(2015·
南京模拟)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>
0)到直线l:
x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求AF·
BF的最小值.
4.已知点A,B是抛物线C:
y2=2px(p>
0)上不同的两点,点D在抛物线C的准线l上,且焦点F到直线x-y+2=0的距离为.
(2)现给出以下三个论断:
①直线AB过焦点F;
②直线AD过原点O;
③直线BD平行于x轴.
请你以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
答案精析
常考题型典例剖析
例1
(1)
解析 设左焦点为F0,连结F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.
∵AF+BF=4,
∴AF+AF0=4,
∴a=2.
设M(0,b),则=≥,∴1≤b<2.
离心率e====∈.
(2)解 ①因为椭圆M的离心率为,
所以=2,得b2=2.
所以椭圆M的方程为+=1.
②(ⅰ)过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时,直线l与椭圆M相交.
(ⅱ)过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时,可设直线l的方程为y=kx+4.由
消去y,得(1+2k2)x2+16kx+28=0.
因为直线l与椭圆M相交,
所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×
28=16(2k2-7)>
0,
解得k<
-或k>
.
综上,当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时,直线l与椭圆M相交.
变式训练1 解
(1)由已知条件得椭圆C的焦点为
F1(-2,0),F2(2,0),
PF1===2+1,
PF2===2-1,
2a=PF1+PF2=4,则a=2.
b2=a2-c2=4,因此椭圆C的方程为+=1.
(2)设D(x1,0),
=(-x1,2),
=(-x0,2);
由⊥,得·
=0,
则G(-x1,0)
x1x0+8=0,则x1=-,
kQG===,
直线QG的方程为y==(x0x-8),
又+=1,y=4=(8-x),
可得y=±
(x0x-8),①
将①代入+=1整理得8x2-16x0x+8x=0,
Δ=(-16x0)2-4×
64x=0,
∴直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
例2 解
(1)设椭圆的半焦距为c,则由题意,
可得 解得
所以b2=a2-c2=52-32=16.
故所求椭圆C的方程为+=1.
(2)方法一 过点(3,0)且斜率为的直线l的方程为y=(x-3),将之代入C的方程,得+=1,
即x2-3x-8=0.
因为点(3,0)在椭圆内,设直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1+x2=3,所以线段AB中点的横坐标为=,纵坐标为×
(-3)=-.
故所求线段的中点坐标为.
方法二 过点(3,0)且斜率为的直线l的方程为y=(x-3),因为(3,0)在椭圆内,所以直线l与椭圆有两个交点,设两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点M的坐标为(x0,y0),
则有
由①-②,得
=-,
即=-.又y0=(x0-3),
所以
变式训练2 解
(1)设椭圆C的方程为+=1(a>
0),
则解得a=,b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)①当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意得-<
m<
0或0<
将x=m代入椭圆方程得|y|=,
所以S△AOB=|m|=.
解得m2=或m2=.(ⅰ)
又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),
又点P在椭圆上,所以=1.(ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)得t2=4或t2=.
又因为t>
0,所以t=2或t=.
②当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+n,
由得(1+2k2)x2+4knx+2n2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由Δ=16k2n2-4(1+2k2)(2n2-2)>
0得1+2k2>
n2.
此时x1+x2=-,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)+2n=.
所以AB=
=2.
又点O到直线AB的距离d=.
所以S△AOB=d·
AB
=×
2.
=·
·
|n|=.
令r=1+2k2代入上式得:
3r2-16n2r+16n4=0.
解得r=4n2或r=n2,
即1+2k2=4n2或1+2k2=n2.
又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)
=.
又点P为椭圆C上一点,
所以t2=1,
即t2=1.
由得t2=4或t2=.
又t>
0,故t=2或t=.
经检验,适合题意.
综合①②得t=2或t=.
常考题型精练
1.解
(1)椭圆C的标准方程为+y2=1,
所以a=,b=1,c=.
所以椭圆C的离心率e==.
(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,
所以可设A(1,y1),B(1,-y1),
直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2),
令x=3,得M(3,2-y1),
所以直线BM的斜率kBM==1.
(3)直线BM与直线DE平行,证明如下:
当直线AB的斜率不存在时,由
(2)可知kBM=1.
又因为直线DE的斜率kDE==1,所以BM∥DE,
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M,
由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
直线BM的斜率kBM=,
因为kBM-1=
=
==0
所以kBM=1=kDE.
所以BM∥DE,
综上可知,直线BM与直线DE平行.
2.解
(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>
0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
从而|x1-x2|=4.
由
解得点M的横坐标xM===.
同理点N的横坐标xN=.
所以MN=|xM-xN|
=8
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>
0时,MN=2>
2.
当t<
0时,MN=2≥.
综上所述,当t=-,即k=-时,
MN的最小值是.
3.解
(1)依题意知=,c>
0,解得c=1.
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)由y=x2得y′=x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,
又点P(x0,y0)在切线PA和PB上,
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,
所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解,所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义知AF=y1+1,BF=y2+1,
所以AF·
BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
联立方程
消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,
所以y1+y2=x-2y0,y1y2=y,
BF=y1y2+(y1+y2)+1
=y+x-2y0+1
=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5
=22+,
所以当y0=-时,AF·
BF取得最小值,且最小值为.
4.解
(1)∵抛物线C:
0)的焦点为F,依题意得d==,
解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.
2、你大部分的零用钱用于何处?
(2)①命题.若直线AB过焦点F,且直线AD过原点O,则直线BD平行于x轴.
营销调研课题设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由 得y2-4ty-4=0,
∴y1y2=-4.直线AD的方程为y=x,
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