高考数学一轮复习第10章概率第2节古典概型教师用书文新人教A版文档格式.docx
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1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )
(3)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.(教材改编)下列试验中,是古典概型的个数为( )
①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;
②向正方形ABCD内,任意抛掷一点P,点P恰与点C重合;
③从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
④在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1
C.2 D.3
B [由古典概型的意义和特点知,只有③是古典概型.]
3.(2016·
全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.B.
C.D.
C [∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},
∴事件总数有15种.
∵正确的开机密码只有1种,∴P=.]
4.(2015·
全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:
(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.故选C.]
5.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.
[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,白),(白,红),(白,蓝),(蓝,蓝),(蓝,白),(蓝,红),共9种.
而同色的有(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.
所以所求概率P==.]
简单古典概型的概率
(1)(2017·
佛山质检)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )
A.0.4 B.0.6
C.0.8D.1
(2)(2016·
全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.B.
(1)B
(2)C [
(1)记3件合格品分别为A1,A2,A3,2件次品分别为B1,B2,从5件产品中任取2件,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种可能.其中恰有一件次品有6种可能,由古典概型得所求事件概率为=0.6.
(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有:
红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有:
红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种,故所求概率为P==,故选C.]
[规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步,
(1)计算基本事件总个数n;
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m;
(3)代入公式求出概率P.
2.用列举法写出所有基本事件时,可借助“树状图”列举,以便做到不重、不漏.
[变式训练1]
(1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )【导学号:
】
江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
(1)C
(2) [
(1)设正方形的四个顶点分别是A,B,C,D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事件分别为AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长,分别是AO,BO,CO,DO,共有4种.
所以所求事件的概率P=1-=.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,所有等可能的结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,6),共36种情况.设事件A=“出现向上的点数之和小于10”,其对立事件=“出现向上的点数之和大于或等于10”,包含的可能结果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种情况.所以由古典概型的概率公式,得P()==,所以P(A)=1-=.]
复杂古典概型的概率
(2016·
山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图1021所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
图1021
[解] 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×
4=16,
所以基本事件总数n=16.3分
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.5分
(2)记“xy≥8”为事件B,“3<
xy<
8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==.8分
事件C包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).10分
所以P(C)=.因为>
,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12分
[规律方法] 1.本题易错点有两个:
(1)题意理解不清,不能把基本事件列举出来;
(2)不能恰当分类,列举基本事件有遗漏.
2.求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
[变式训练2] (2017·
潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:
(单位:
人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
[解]
(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,2分
故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.5分
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.8分
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.10分
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.12分
古典概型与统计的综合应用
(2015·
全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:
62 73 81 92 95 85 74 64 53
76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:
73 83 62 51 91 46 53 73 64
82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
图1022
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C:
“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.【导学号:
[解]
(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
2分
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;
A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.5分
(2)记CA1表示事件:
“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;
CA2表示事件:
“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
CB1表示事件:
“B地区用户的满意度等级为不满意”;
CB2表示事件:
“B地区用户的满意度等级为满意”;
则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,且C=CB1CA1+CB2CA2.
∴P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)
=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)
=P(CB1
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