中考数学二次函数压轴题含标准答案.docx
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中考数学二次函数压轴题含标准答案
2017年中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题
面积类
1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.
(3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:
S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值.
解答:
解:
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:
y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
,
解得;
故直线BC的解析式:
y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0 (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)•3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 考点: 二次函数综合题.. 专题: 压轴题;转化思想. 分析: (1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可. (2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标. (3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M. 解答: 解: (1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即: a=; ∴抛物线的解析式为: y=x2﹣x﹣2. (2)由 (1)的函数解析式可求得: A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即: OC2=OA•OB,又: OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得: ∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为: (,0). (3)已求得: B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为: y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为: y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程: x+b=x2﹣x﹣2,即: x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l: y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: 解得: 即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4. 平行四边形类 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t. (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式. (2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积. (3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形? 若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定.. 专题: 压轴题;存在型. 分析: (1)分别利用待定系数法求两函数的解析式: 把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可; (2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可; (3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论: 当P在第四象限: PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;当P在第一象限: PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限: PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值. 解答: 解: (1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得 解得,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3. 设直线AB的解析式是y=kx+b, 把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得,解得, 所以直线AB的解析式是y=x﹣3; (2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3), 因为p在第四象限, 所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t, 当t=﹣=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=, 则S△ABM=S△BPM+S△APM==. (3)存在,理由如下: ∵PM∥OB, ∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形, ①当P在第四象限: PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3. ②当P在第一象限: PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P点的横坐标是; ③当P在第三象限: PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P点的横坐标是. 所以P点的横坐标是或. 4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O. (1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式; (2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍? 若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在 (2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形? 并写出四边形PB′A′B的两条性质. 考点: 二次函数综合题.. 专题: 压轴题. 分析: (1)利用旋转的性质得出A′(﹣1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可; (2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可; (3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可. 解答: 解: (1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的, 又A(0,1),B(2,0),O(0,0), ∴A′(﹣1,0),B′(0,2). 方法一: 设抛物线的解析式为: y=ax2+bx+c(a≠0), ∵抛物线经过点A′、B′、B, ∴,解得: ,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2. 方法二: ∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0), 设抛物线的解析式为: y=a(x+1)(x﹣2) 将B′(0,2)代入得出: 2=a(0+1)(0﹣2), 解得: a=﹣1, 故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2; (2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点, 设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2. 连接PB,PO,PB′, ∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB, =×1×2+×2×x+×2×y, =x+(﹣x2+x+2)+1, =﹣x2+2x+3. ∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为: ×1×2=1, 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则 4=﹣x2+2x+3, 即x2﹣2x+1=0, 解得: x1=x2=1, 此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2). ∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍. (3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可. ①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等; ③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 或用符号表示: ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l: y=x﹣5上. (1)求抛物线顶点A的坐标; (2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状; (3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题.. 专题: 压轴题;分类讨论. 分析: (1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标. (2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状. (3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论,即①ADPB、②ABPD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标. 解答: 解: (1)∵顶点A的横坐标为x=﹣=1,且顶点A在y=x﹣5上, ∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4, ∴A(1,﹣4). (2)△ABD是直角三角形. 将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3, ∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3) 当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3 ∴C(﹣1,0),D(3,0), BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20, BD2+AB2=AD2, ∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形. (3)存在. 由题意知: 直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0) ∴OE=OF=5, 又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l,即PA∥BD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图, 过
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