小学奥数数论体系知识体系及重点知识.docx
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小学奥数数论体系知识体系及重点知识
1、奇数与偶数
一、奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。
特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质
性质1:
偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数
性质2:
偶数±奇数=奇数
性质3:
偶数个奇数的和或差是偶数
性质4:
奇数个奇数的和或差是奇数
性质5:
偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数
性质6:
奇数的连乘积永远是奇数,若干个整数连乘,如果其中有一个是偶数,那么乘积一定为偶数。
性质7:
相邻两个自然数的和必为奇数,相邻两个自然数的乘积必为偶数。
性质8:
两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性。
性质9:
奇数的平方被4除余1,偶数的平方是4的倍数。
性质10:
奇数用2K+1或2K-1(K是整数)表示;偶数用2K表示。
三、两个实用的推论
推论1:
在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性,奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2:
对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶
2、数的整除
一、常见数字的整除判定方法
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4(或25)的倍数
8和125
末三位数是8(或125)的倍数
4725
⑴末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除。
⑵逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2被后能被7整除。
11
⑴末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
⑵奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除。
⑶逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
13
⑴末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
⑵逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
需要记住的特殊数字:
1001能被7、11、13整除六位数:
是7、11、13的倍数
二、整除性质
性质1如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,
c︱b,那么c︱(a±b).
性质2如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,
c∣b,那么c∣a.
性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那
么b∣a,c∣a.
性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b
与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.
例如:
如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4)∣12.
性质5如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);
性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;
性质7a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
约数与倍数
一、约数与倍数定义
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
a、b最大公约数为d,记做:
(a,b)=d
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
a、b最小公倍数为d,记做:
[a,b]=d
二、求最大公约数、最小公倍数方法
1.求最大公约数的方法
①分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.
②短除法:
先找出所有共有的约数,然后相乘.
③辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
2.求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法;
②短除法求最小公倍数;
③.
3、求一组分数的最大公约数
先将各个分数化成假分数;求出各个分数的分母的最小公倍数a,求出分数分子的最大公约数b,a/b即为所求。
例如:
(,)==
4、求一组分数的最大公约数
先将各个分数化成假分数;求出各个分数的分母的最大公倍数a,求出分数分子的最小公倍数b,a/b即为所求。
例如:
[,]==
三、最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;
②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;
③几个数都乘以一个自然数,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以.
四、最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.
③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数.
五、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1、两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
如果为、的最大公约数,且,,那么互质,所以、的最小公倍数为,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:
①,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;
②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数.
2、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即。
3.对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为:
a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
六、求约数个数与所有约数的和
1.求任一整数约数的个数
求一个数的约数个数:
自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么:
n的约数个数:
d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
2.求任一整数的所有约数的和
n的所有约数和:
(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk)
完全平方数
一、完全平方数常用性质
【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9,不可能是2,3,7,8。
【性质2】完全平方数被3,4,5,8,16除的余数为完全平方数
3
平方数的形式一定是下列两种之一:
3k,3k+1,即被3除余2的数一定不是完全平方数
4
偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1,即被4除余2或3的数一定不是完全平方数
5
不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型
8
奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型
16
平方数的形式具有下列形式之一:
16m,16m+1,16m+4,16m+9
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
推论1:
如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。
推论2:
如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
【性质4】完全平方数的约数个数是奇数个。
约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
【性质5】
(1)如果一个完全平方式个位数字是0,则末尾连续0的个数一定是偶数;
(2)如果一个完全平方式个位数字是5,则其十位数必为2,百位数一定是0、2、6中一个;
【性质6】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9
【性质7】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,
二、完全平方数判定
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数;
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;
3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;
7.形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数
9.连续两个自然数乘积不是完全平方数,两个相邻完全平方数之间无任何完全平方数。
三.重点公式回顾:
平方差公式:
质数合数分解质因数
一.质数与合数
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数.
要特别记住:
0和1不是质数,也不是合数.
常用的100以内的质数:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个;除了2其余的质数都是奇数;除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9.
考点:
⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路,需要大家注意.
二.质因数与分解质因数
质因数:
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.
互质数:
公约数只有1的两个自然数,叫做互质数.
分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.
三.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即:
其中为质数,为自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.
求约数个数的公式:
P=(a1+1)×(a2+1)×(a3+1)×……×(an+1)
四.部分特殊数的分解
;;;;;;;;.
五.判断一个数是否为质数的方法
用2到[根号N](中括号表示取整数部分)的所有质数去检测,如果没有一个数能够整除N,那么N就一定是质数。
带余数的除法
一、带余除法的定义及性质
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,
0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:
(1)当时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商
(2)当时:
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商
余数性质1:
余数小于除数
余数性质2:
被除数=除数×商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数
二、三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:
a同余于b,模m。
由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:
如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
三、弃九法原理
在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:
四、中国剩余定理
对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:
今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何
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