概率论与数理统计复习提纲Word下载.docx
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若
,则
;
②事件的交:
,事件A与事件B都发生;
③事件的差:
,事件A发生且事件B不发生。
4.事件的运算规律
①交换律:
②结合律:
③分配律:
④德摩根(DeMorgan)定律:
对于n个事件,有
二、随机事件的概率定义和性质
1.公理化定义:
设试验的样本空间为
,对于任一随机事件
都有确定的实值P(A),满足下列性质:
(1)非负性:
(2)规范性:
(3)有限可加性(概率加法公式):
对于k个互不相容事件
,有
.
则称P(A)为随机事件A的概率.
2.概率的性质
①
②
③若
④
性质的逆命题不一定成立的.如若
则
。
(×
)若
三、古典概型的概率计算
古典概型:
若随机试验满足两个条件:
①只有有限个样本点,
②每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,
典型例题:
设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则
(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A1)的概率为
(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A2)的概率为
四、条件概率及其三大公式
1.条件概率:
2.乘法公式:
3.全概率公式:
4.贝叶斯公式:
若事件
如全概率公式所述,且
.
五、事件的独立1.定义:
推广:
相互独立,
2.在
四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。
3.三个事件A,B,C两两独立:
n个事件的两两独立与相互独立的区别。
(相互独立
两两独立,反之不成立。
4.伯努利概型:
1.事件的对立与互不相容是等价的。
(X)
2.若
3.
(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为
(∨)
5.n个事件若满足
,则n个事件相互独立。
6.当
时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。
第二章随机变量及其分布
一、随机变量的定义:
设样本空间为
,变量
为定义在
上的单值实值函数,则称
为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1.定义:
设随机变量
,对于任意实数
,函数
称为随机变量
的概率分布函数,简称分布函数。
注:
当
时,
(1)X是离散随机变量,并有概率函数
则有
(2)X连续随机变量,并有概率密度f(x),则
2.分布函数性质:
(1F(x)是单调非减函数,即对于任意x1<
x2,有
(2
且
(3离散随机变量X,F(x)是右连续函数,即
连续随机变量X,F(x)在(-∞,+∞)上处处连续。
一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值
,或可列无穷多个数值
,则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布,或概率函数(分布律).
概率函数pi的性质:
2.几种常见的离散随机变量的分布:
(1)超几何分布,X~H(N,M,n),
(2)二项分布,X~B(n.,p),
当n=1时称X服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。
若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立,则
服从二项分布。
(3)泊松(Poisson)分布,
,
四、连续随机变量及其分布
1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函数f(x),使得对于任意区间
则称X为连续随机变量;
函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。
注1:
连续随机变量X任取某一确定值的
概率等于0,即
注2:
2.概率密度f(x)的性质:
性质1:
性质2:
一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。
且在f(x)的连续点x处,有
3.几种常见的连续随机变量的分布:
(1)均匀分布
,
(2)指数分布
(3)正态分布
1.概率函数与密度函数是同一个概念。
(X)
2.当N充分大时,超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。
3.设X是随机变量,有
4.若
的密度函数为
=
第三章随机变量的数字特征
一、期望(或均值)
1.定义:
2.期望的性质:
3.随机变量函数的数学期望
4.计算数学期望的方法
(1)利用数学期望的定义;
(2)利用数学期望的性质;
常见的基本方法:
将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
(3)利用常见分布的期望;
1.方差
D(X)=E[X-E(X)]2≥0;
它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小),表示X取值越分散(集中)。
2.方差的性质
(4)对于任意实数C∈R,有E(X-C)2≥D(X)
当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).
(5)(切比雪夫不等式):
设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数
有
或
3.计算
(1)利用方差定义;
(2)常用计算公式
(3)方差的性质;
(4)常见分布的方差.
常见分布的期望与方差
1.若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;
2.若
3.若X~U(a,b),则
4.若
5.若
三、原点矩与中心矩
(总体)X的k阶原点矩:
(总体)X的k阶中心矩:
1.只要是随机变量,都能计算期望和方差。
2.期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。
(√)
3.方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。
4.方差的实质是随机变量函数的期望。
5.对于任意的X,Y,都有
成立。
第四章正态分布
一、正态分布的定义
1.正态分布
⑴
概率密度为
其分布函数为
正态密度函数的几何特性:
2.标准正态分布
其密度函数为
且其分布函数为
的性质:
3.正态分布与标准正态分布的关系
定理:
设
二、正态分布的数字特征
则1.期望E(X)
2.方差D(X)
3.标准差
三、正态分布的性质
1.线性性.设
2.可加性.设
且X和Y相互独立,则
3.线性组合性设
,且相互独立,则
四、中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理
相互独立,服从相同的分布,且
则对于任何实数x,有
定理解释:
满足上述条件,
(1)
(3)
2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
当n充分大时,有
(2)
1.若
(√)
3.设随机变量X与Y均服从正态分布:
4.已知连续随机变量X的概率密度函数为
则X的数学期望为__1____;
X的方差为__1/2____.
第五章数理统计的基本知识
一、总体个体样本
1.总体:
把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量,记X.
2.个体:
总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.
3.样本:
从总体X中,随机地抽取n个个体
称为总体X的容量为n的样本。
⑴样本
是一个n维的随机变量;
⑵本书中提到的样本都是指简单随机样本,其满足2个特性:
①代表性:
中每一个与总体X有相同的分布.②独立性:
是相互独立的随机变量.
4.样本
的联合分布
设总体X的分布函数为F(x),则样本
的联合分布函数为
(1)设总体X的概率密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为
(2)设总体X的概率函数为
则样本的联合概率函数为
二、统计量
1.定义
不含总体分布中任何未知参数的样本函数
称为统计量,
是
的观测值.
(1)统计量
是随机变量;
(2)统计量
不含总体分布中任何未知参数;
(3)统计量的分布称为抽样分布.
2.常用统计量
(1)样本矩:
①样本均值
其观测值
.可用于推断:
总体均值E(X).
②样本方差
;
其观测值
可用于推断:
总体方差D(X).
③样本标准差
④样本k阶原点矩
⑤样本k阶中心矩
比较样本矩与总体矩,如样本均值
和总体均值E(X);
样本方差
与总体方差D(X);
样本k阶原点矩
与总体k阶原点矩
样本k阶中心矩
.前者是随机变量,后者是常数.
(2)样本矩的性质:
设总体X的数学期望和方差分别为
为样本均值、样本方差,则
3.抽样分布:
统计量的分布称为抽样分布.
三、3大抽样分布
:
定义.设
相互独立,且
(2)性质(可加性)
2.t分布:
设X与Y相互独立,且
t分布的密度图像关于t=0对称;
当n充分大时,t分布趋向于标准正态分布N(0,1).
3.F分布:
定义.设X与Y相互独立,且
(2)性质.设
四、分位点
定义:
对于总体X和给定的
若存在
,使得
则称
为X分布的
分位点。
常见分布的分位点表示方法
分布的
分位点
(2)
其性质:
其性质
(4)N(0,1)分布的
第六章参数估计
一、点估计:
为来自总体X的样本,
为X中的未知参数,
为样本值,构造某个统计
量
作为参数
的估计,则
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