版高中数学人教B版必修三学案第三单元 33 随机数的含义与应用34 概率的应用 Word版含答案Word格式.docx

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思考　既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？

几何概型的概率计算公式

在几何概型中，事件A的概率定义为：

______________，其中，μΩ表示________________，μA表示__________________________．

知识点三　均匀随机数

1．随机数

随机数就是在________________，并且得到这个范围内的________________________．

2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法

建立一个概率模型，它与某些我们____________有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来______________．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．

类型一　几何概型的识别

例1　下列关于几何概型的说法错误的是（　　）

A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性

B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关

C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个

D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性

反思与感悟　几何概型特点的理解

（1）无限性：

在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；

（2）等可能性：

在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．

跟踪训练1　判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．

（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．

类型二　几何概型的计算

命题角度1　与长度有关的几何概型

例2　某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．

引申探究

1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．

2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．　

反思与感悟　若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果（基本事件）都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．

跟踪训练2　平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径为r（r＜a）的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．

命题角度2　与面积有关的几何概型

例3　设点M（x，y）在区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：

（1）x＋y≥0的概率；

（2）x＋y＜1的概率；

（3）x2＋y2≥1的概率．

反思与感悟　如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．

跟踪训练3　欧阳修《卖油翁》中写到，（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有一个边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（　　）

A.B.

C.D.

命题角度3　与体积有关的几何概型

例4　已知正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD内部的点．

（1）设“VP－ABC≥V”的事件为X，求概率P（X）；

（2）设“VP－ABC≥V且VP－BCD≥V”的事件为Y，求概率P（Y）．

反思与感悟　如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为

P（A）＝.

解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．

跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（　　）

A.B.πC.D.

类型三　均匀随机数及随机模拟方法

例5　在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.

反思与感悟　用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．

用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．

跟踪训练5　取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？

1．下列概率模型是几何概型的为（　　）

A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率

B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率

C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率

D．求张三和李四的生日在同一天的概率（一年按365天计算）

2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为（　　）

3．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

4．在200mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出20mL水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________．

5．在区间[0,1]上任取三个数a，b，c，若向量m＝（a，b，c），求|m|≥1的概率．

1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．

2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．

3．注意理解几何概型与古典概型的区别．

4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为

答案精析

问题导学

知识点一

思考　出现的结果是无限个；

每个结果出现的可能性是相等的．

1．几何度量　正比　位置　形状　几何概型

2．

（1）无限多个　

（2）相等

知识点二

思考　可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．

梳理　P（A）＝　区域Ω的几何度量　子区域A的几何度量

知识点三

1．一定范围内随机产生的数　每一个数的机会一样

2．感兴趣的量　确定这些量

题型探究

类型一

例1　A　[几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．]

跟踪训练1　解　

（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×

6＝36（种），且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．

（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

类型二

命题角度1

例2　解　如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.

设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.

则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．

因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，

所以P（A）＝＝.

引申探究　

1．解　由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝＝.

2．解　由原题解析图可知，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率P＝＝＝.

跟踪训练2　解　记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A，如图，由图可知：

硬币圆心在线段AB上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD（不含点C、D）上出现时硬币不与平行线相碰，所以P（A）＝＝＝.

命题角度2

例3　解　如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点（x，y）组成一个边长为2的正方形（ABCD）区域（含边界），S正方形ABCD＝4.

（1）x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方（含AC），即在△ACD内（含边界），而S△ACD＝·

S正方形ABCD＝2，所以P（x＋y≥0）＝＝.

（2）设E（0,1），F（1,0），则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内（不含边界EF），而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝，

所以P（x＋y＜1）＝＝＝.

（3）满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，

所以P（x2＋y2≥1）＝＝.

跟踪训练3　A　[∵S正方形＝1cm2，S圆＝π·

2＝（cm2），

∴P＝＝，故选A.]

命题解度3

例4　解　

（1）如图，分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，连接EF、FG、GE，则平面EFG∥平面ABC.

当P在正四面体DEFG内部运动时，满足VP－ABC≥V，故P（X）＝＝3＝3＝.

（2）在AB上取点H，使AH＝3HB，在AC上取点I，使AI＝3IC，在AD上取点J，使AJ＝3JD，连接JH、JI，分别交EF、EG于点M、N，连接MN、HI，则P在正四面体AHIJ内部运动时，满足VP－BCD≥V.

结合

（1）可知，当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动，即P在正四面体EMNJ内部运动时，

满足VP－ABC≥V且VP－BCD≥V，

于是P（Y）＝＝3＝3＝.

跟踪训练4　D　[由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×

3＝π，则此点落在正方体内部的概率P＝＝.]

类型三

例5　解　随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，

即≈.

设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则＝＝，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，

所以π≈×

4.所以就得到了π的近似值．

跟踪训练5　解　设剪得两段的长都不小于2m为事件A.

（1）利用计算器或计算机产生n个0～5之间