最新初中数学九上课本变式题1Word文档格式.docx
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(答案:
n=1,2,9,17等.)
变式4是否存在正整数n,使得是有理数?
若存在,求出一个n的值;
若不存在,请说明理由.
解假设存在正整数n,使是有理数,则因为3n+2是正整数,所以3n+2应该是一个完全平方数.
假设3n+2等于k(k≥3,k是正整数)的平方,则k=3p或者3p+1或者3p+2,也就是说k除以3余0或者1或者2,而(3p)2除以3余0,(3p+1)2=9p2+6p+1,(3p+2)2=9p2+12p+4除以3都余1,所以没有数的平方除以3余2.表明3n+2不是完全平方数,从而假设不成立,因此,不存在正整数n,使是有理数.
21.2二次根式的乘除
.(人教课本P156(4)题)
解原式==15.
另法原式=.
点评进行二次根式的乘除运算时,根据乘法、除法规定((a、b≥0),(a≥0,b>0)),可以从左往右正向使用(如另法),也可以从右往左逆向使用(法一),往往可视其具体题目的数字特点和结构特征,灵活选用.一般情况是尽可能先把根式化简,大数化小,遇到字母开平方时,必须注意字母的正、负性(或讨论).
(2)=.(答案:
因为原式=,2+3=5,
所以设2=a,3=b,则5=a+b,题目可演变成如下形式:
变式2化简:
.
解原式==b(a+b)=ab+b2.
若赋予a一些不同的值(相应的可得到b的值),则可得到一组二次根式的乘法除法试题.
变式3甲、乙两同学在化简时,采用了不同的方法:
甲:
因为x,y是二次根式的被开方数,且在分母上,所以x>0,y>0,
于是令x=1,y=1,代入可得,原式=.
乙:
原式=.
从而得出了不同的结果.请指出甲、乙同学的做法是否正确?
说明理由.
解甲,乙两同学的做法都不正确.
甲同学犯了以特殊代替一般的错误,虽然最终结果是.
乙同学对题目形式上的意义理解错误,通常是一个整体,是被除式.
正确解法是:
原式=.
21.3二次根式的加减
题目已知,,求下列各式的值:
(1)x2+2xy+y2;
(2)x2-y2.(人教课本P216题)
解∵,,
∴,x-y=2,xy=2.
于是x2+2xy+y2=(x+y)2=,
x2-y2=(x+y)(x-y)=.
点评本题属于“给值求值”类型,一般不宜直接代入算值.通常的思路是:
先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简,充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系,然后再看情况灵活地代入,往往能简捷而巧妙地求值.
变式1已知,,求:
(1),
(2)的值.
解由已知可得a+b=2,,ab=-1.
(1)原式=.
(2)原式=.
变式2如果实数a,b满足a2+2ab+b2=12,,求的值.
解显然b≠0,于是由已知,得,
∴,即,
有,因此.
说明上述解法,既抓住了已知式的特征(两个等式的左边有公因式,约后能降次,但要注意是否为0啰!
),又避免了解方程组的难点.本题还可以进一步求出a、b的值.
∵,∴(x-1)2=3,得x2-2x=2,结合x≠0,两边除以x,
得,注意到,则=,,得
变式3若实数x满足,试求:
(1);
(2);
(3)的值.
(答案
(1)8
(2)(3))
22.2降次——解一元二次方程
题目无论p取何值时,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?
给出答案并说明理由.(人教课本P4612题)
解原方程可化为x2-5x+6-p2=0.
方程根的判别式为△=(-5)2-4(6-p2)=1+4p2,
对任何实数值p,有1+4p2>0,
∴方程有两个实数根x1=,x2=,且两个根不相等.
另法由p2=(x-3)(x-2)=x2-5x+6=,
得,无论p取何值≥,因此.
点评解一元二次方程有配方法,公式法或因式分解法.一般来说,公式法对于解任何一元二次方程都适用,是解一元二次方程的主要方法,但在具体解题时,应具体分析方程的特点,选择适当的方法.
(1)要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时,常常只须考查方程根的判别式.
(2)见到含字母系数的二次方程,在实数范围内,首先应有△≥0;
若字母在二次项系数中,则还应考虑其是否为0.
(3)关于一元二次方程有实数根问题,一般有三种处理方式(何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定):
①利用求根公式求出根来;
②利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来:
x1+x2=x1x2=,以便后继作整体代换;
③将根代入方程中进行整体处理.
变式1分别对p赋值0,2,等,可得如下确定的方程:
解方程:
(1)x2-5x+6=0;
(2)x2-5x+1=0;
(3)4x2-20x+21=0.
变式2当x取什么范围内的值时,由方程(x-3)(x-2)-p2=0确定的实数p存在?
请说明理由.
解对任意实数p,有p2≥0,所以只需p2=(x-3)(x-2)≥0,利用同号相乘得正的原理,得x应满足或解得x≥3或x≤2.
表明,当x取x≤2或x≥3范围内的实数时,由方程(x-3)(x-2)-p2=0确定的实数p存在.
变式3指出方程(x-3)(x-2)-p2=0的实数根所在的范围?
解∵方程有两个不相等的实数根x1=,x2=,
且对任意实数p,有1+4p2≥1,∴有x1≥,x2≤,
即方程的实数根所在的范围是x≤2或x≥3.
变式4试求y=(x-3)(x-2)的最小值.
解由y=(x-3)(x-2)=x2-5x+6=,
得y的最小值为,当时取得.
22.3实际问题与一元二次方程
题目如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中
有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:
2,如果要使彩条
所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(精确
到0.1cm)?
(人教课本P5310题)
分析结合图形,阅读理解题意(数形结合).矩形图案中,长30cm,宽20cm.现设计了横、竖彩条各2条,且其宽度比为3:
2,于是设横彩条宽为3xcm,则竖彩条的宽就为2xcm,其长与矩形图案的长宽相关.等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”.
解根据题意,设横向彩条的宽为3x,则竖向彩条的宽为2x,于是,
建立方程,得,
化简,得12x2-130x+75=0.
解得.
因此横向彩条宽1.8cm,竖向彩条宽1.2cm.
另法如图,建立方程,得.
法三如图,建立方程,得.
点评列一元二次方程解应用题的一般步骤为:
(1)设:
即设好未知数(直接设未知数,间接设未知数),不要漏写单位;
(2)列:
根据题意,列出含有未知数的等式,注意等号两边量的单位必须一致;
(3)解:
解所列方程;
(4)验:
一是检验是否为方程的解,二是检验是否为应用题的解;
(5)答:
即答题,怎么问就怎么答,注意不要漏写单位.
变式1矩形图案的长、宽不变,但设计的两横两竖彩条的宽度相同,如果彩条的面积是图案面积的四分之一,求彩条的宽.(答案:
)
变式2矩形图案的长、宽不变,现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形,其面积是整个矩形面积的四分之三,上下边等宽,左右等宽,应如何设计四周的宽度?
解因为矩形图案的长、宽比为30:
20=3:
2,所以中央矩形的长、宽之比也应为3:
2,设其长为3x,则宽为2x,所以,得,从而上、下边宽为
,左、右宽为.
变式3如图,一边长为30cm,宽20cm的长方形铁皮,四角各截去一个大小相同的正方形,将四边折起,可以做成一个无盖长方体容器.求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式,并指出x的取值范围.
解根据题意可得,V关于x的函数关系式为:
V=(30-2x)(20-2x)x.
即V=4x3-100x2+600x,
x的取值范围是0<x<10.
变式4在一块长30m、宽20m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占的面积为荒地面积的一半.
小明的设计方案如图甲所示,其中花园四周小路的宽度都相等.小明通过列方程,并解方程,得到小路的宽为2.5m或22.5m.
小亮的设计方案如图乙所示,其中花园每个角上的扇形(四分之一圆弧)都相同.
解答下列问题:
(1)小明的结果对吗?
为什么?
(2)请你帮小亮求出图乙中的x?
(3)你还有其他设计方案吗?
甲乙
解
(1)小明的设计方案:
由于花园四周小路的宽度相等,设其宽为x米.
则根据题意,列出方程,得,即x2-25x+75=0,解得x=或x=.由于矩形荒地的宽是20m,故舍去x=,得花园四周小路宽为m,所以小明的结果不对.
(2)小亮的设计方案:
由于其中花园的四个角上均为相同的扇形,所以设扇形的半径为x米,列方程得,所以m.(3)略.
23.1图形的旋转
题目如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系?
你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?
(人教课本P679题)
解∵△ABD是等边三角形,
∴AB=AD,∠BAD=60︒.
同理AE=AC,∠EAC=60︒.
∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60︒就得到△CAD,
∴△ABE≌△ADC,从而BE=DC.
另法∵△ABD,△AEC都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=60︒,
于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠EAC=∠EAB.
从而有△CAD≌△EAB,
∴DC=BE.
点评由于旋转是刚体运动,旋转前、后的图形全等,所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,疏通解题突破口.
变式1如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,
△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的?
说明理由.(人教课本P805题)
说明:
如上题图,去掉BC,把D,A,E放在一直线上即得.
本题经过下列各种演变,原来的结论仍保持不变.
(1)△ABC与△CDE在BC的异侧.
(2)点C在BD的延长线上.
(3)C点在BD外.
(4)△ACD与△BDE在BD的异侧,
且D点在BC的延长线上.
(5)△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三
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