1999年考研数学一真题Word格式文档下载.docx
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1⎞=limsinx-xcosx=limsinx-xcosx
x2sinx
=limcosx-cosx+xsinx
=limsinx=1
x→03x3
dx2
(2)dx⎰0sin(x-t)dt=.
【详解】
sinx2.
d⎰xsin(x-t)2dtx-t=ud⎰0(-sinu2)du
dx0dxx
=d⎰xsinu2du
dx0
=sinx2
故本题应填sinx2
(3)y'
'
-4y=e2x的通解为.
y=Ce-2x+⎛C+1x⎞e2x,其中C,C为任意常数.
1⎜24⎟12
【详解】特征方程为:
λ2-4=0,解得λ=2,λ=-2
12
故y'
-4y=0的通解为y=Ce-2x+Ce2x,由于非齐次项为f(x)=e2x,a=2为特征方程
112
的单根,因此原方程的特解可设为y*=Axe2x,代入原方程可求得A=1,
4
故所求通解为
y=y+y*=Ce-2x+Ce2x+1xe2x
故本题应填
1124
y=Ce-2x+⎛C+1x⎞e2x,
1⎜24⎟
(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是.
¸
ç
n-1˛
n,0,…,0
【详解】因为
λ-1
-1…-1
λ-n
λE-A=-1
λ-1…
-1=λ-n
λ-1…-1
########
-1-1…
1-1…
-1
-1…
=λ-n0λ…0
####
00…λ
故矩阵A的n个特征值是n和0(n-1重)
因此本题应填n,0,…,0.
(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:
ABC=φ,P(A)=P(B)=P(C)<
1,
2
且P(A⋃B⋃C)=
9,则P(A)=.
16
【答】.
【详解】根据加法公式有
P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)
由题A,B和C两两相互独立,ABC=φ,P(A)=P(B)=P(C)<
因此有
P(AB)=P(AC)=P(BC)=P2(A),
P(ABC)=P(φ)=0,
从而P(A⋃B⋃C)=3P(A)-3P2(A)=9
31
解得P(A)=
P(A)=
44
11
又根据题设
P(A)<
故
P(A)=
二、选择题
(1)设f(x)是连续函数,F(x)是其原函数,则
(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.
(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.
(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.
(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.
【】
【答】应选(A)
x
【详解】f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=⎰0f(t)dt+C,于是
-xx
F(-x)=⎰0f(t)dt+Cu=-t⎰0f(-u)d(-u)+C.
当f(x)为奇函数时,f(-u)=-f(u),从而有
即F(x)为偶函数.
F(-x)=⎰0
=⎰0
f(u)du+C
f(t)dt+C=F(x)
故(A)为正确选项.至于(B)、(C)、(D)可分别举反例如下:
f(x)=x2是偶函数,但其原函数F(x)=1x3+1不是奇函数,可排除(B);
f(x)=cos2x是周期函数,但其原函数F(x)=1x+1sin2x不是周期函数,可排除(C);
24
f(x)=x在区间(-∞+∞)内是单调增函数,但其原函数F(x)=1x2在区间(-∞+∞)内非
单调增函数,可排除(D).
⎧1-cosx,x>
0
(2)设f(x)=⎨x其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处
⎪⎩x2g(x),x≤0
(A)极限不存在.(B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导(D)可导.
【答】应选(D)
f'
(0+0)=limf(x)-f(0)=lim1-cosx=0,
x→0+
f(x)-f(0)
x→0-
x2
x2g(x)
(0-0)=lim=limlimg(x)x=0,
x→0-x
xx→0-
可见,f(x)在x=0处左、右导数相等,因此,f(x)在x=0处可导,故正确选项为(D).
⎧
(3)设f(x)=⎪
x,0≤x≤1
,S(x)=a0
+∑ancosnπx,-∞<
x<
+∞,
⎪
⎪2-2x,
⎩2
a=
<
1
n=1
⎛5⎞
其中n
2⎰0f(x)cosnπxdx,(n=0,1,2,…),则S⎜-2⎟等于
(A)
(B)-(C)3
(D)
-3
【答】应选(C).
【详解】由题设知,应先将f(x)从[0,1)作偶延拓,使之成为区间[-1,1]上的偶函数,然后再作周期(周期2)延拓,进一步展开为傅里叶级数,根据收敛定理有
S⎛-5⎞=S⎛-2-1⎞=S⎛-1⎞
⎜2⎟⎜2⎟⎜2⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
f⎛1-0⎞+f⎛1+0⎞
⎛1⎞
⎜2⎟⎜2⎟
=S⎜⎟=⎝⎠⎝⎠
⎝2⎠
=3.
(4)设A是m⨯n矩阵,B是n⨯m矩阵,则
(A)当m>
n时,必有行列式AB≠0
(B)当m>
n时,必有行列式AB=0
(C))当n>
m时,必有行列式AB≠0(D)当n>
m时,必有行列式AB=0
【答】应选(B).
【详解】因为AB为m阶方阵,且
秩r(AB)≤min⎡⎣r(A),r(B)⎤⎦≤min(m,n)
当m>
n时,由上式可知,r(AB)≤n<
m,即AB不是满秩的,故有行列式AB=0.
因此,正确选项为(B).
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则
(A)P{X+Y≤0}=1.
(B)P{X+Y≤1}=1.
(C)P{X-Y≤0}=1.
P{X-Y≤1}=1.
【详解】根据正态分布的性质,服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此
(X+Y)~N(1,2),(X-Y)~N(-1,2)
利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为
知,(B)为正确选项.
三、设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和
F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dz.
dx
【详解】分别在z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0的两端对x求导,得
⎧dz=
f+x⎛1+dy⎞f'
⎪dx
⎜dx⎟
⎨⎝⎠
⎪F'
x+F'
ydy+
dz=0
⎪⎩
整理后得
Fz
dxdx
⎧-xf'
dy+dz=
f+xf'
⎪dxdx
⎨dydz
y+F'
z
=-F'
⎪⎩dxdx
解此方程组,得
dz=
(f+xf'
)F'
y-xf'
F'
z
(F'
y+xf'
z≠0)
四、求I=⎰L
dxF'
(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy,其中a,b为正常数,L为从点
A(2a,0)沿曲线y=到点O(0,0)的弧.
【详解】添加从点O(0,0)沿y=0到点A(2a,0)的有向直线段L1,则
I=⎰L+L
⎡⎣exsiny-b(x+y)⎤⎦dx+(excosy-ax)dy
-
⎰L
利用格林公式,前一积分
I=⎰⎰⎛∂Q-∂P⎞
=⎰⎰(b-a)dxdy
1⎜∂x
∂y⎟dxdy
D⎝⎠D
=πa2(b-a)
其中D为L+L1所围成的半圆域,后一积分选择x为参数,得L1:
⎨y=
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