信息论与编码卷积码综述文档格式.docx
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定义:
卷积码字中码元的个数为n0,码字中信息元个数为k0,由m级移位寄存器构成的编码器称m为编码码字约束长度。
有的教材称m=m+1为约束长度,(m+1)nO为编码码元约束长度。
卷积码记为(n0,k0,m)。
R=kO/nO为码率(Coderate。
它是表示卷积码的编码效率。
卷积码的编码器的一般形式为:
看以下卷积码的约束关系图:
ci+2⑶&
+2%+2(
ci+1⑶如%+
ci⑶ci
(2)J
⑶
(2)(1
ci-1ci-1ci-1
(3)
(2)(1
Ci-2Ci-2Ci-2
在译码时,译码在ci时要利用到ci-1,ci-2,同时译码字ci+1,ci+2时还要利用到ci。
因此译码约束长度一般要大于编码约束长度,因为:
虽然一般理解译码字ci时只利用ci+1,ci+2但实际上这时译出的ci可能译错,当译ci+2时同样是对ci的一种校验。
还可以对cl的译码进行修改。
这是卷积码的特别之处。
如果卷积码编码器的输入端输入有头无尾的一个半无限序列,即
信息码字序列为[m]=m0,m1,m2,…mi…,则编码器的输出也将是一个
半无限序列,[C]二c0,c1,c2,…ci,,•称为卷积码的码字序列。
卷积码同样有系统卷积码和非系统卷积码之分。
系统卷积码的码字中明显的包含着k0位信息码元,而非系统卷积码的信息码元是隐含在码字中的。
如图所示,为一个(2,1,2)非系统卷积码的编码器;
约束关系为:
ci
(1)=mi-2+mi-1+mi
ci
(2)=mi-2+mi
如果输入的信息序列为:
[m]=(m0,m1,m2,)=(1,1,1,)
则输出的码字序列为:
[C]=(11,01,10,……)
7-1-2卷积码的监督矩阵描述
同分组码一样,卷积码也可以用生成矩阵和监督矩阵来描述
[截短卷积码的基本监督矩阵]:
例如:
卷积码编码电路如图所示,求监督矩阵,并求当输入信息
源为10010时,对应的输出码字?
通过一个例子说明:
看一个(3,1,2)系统卷积码,其编码电路为:
*mi
D0
%
r
Uxpi1
*Di>
pi2
n0=3,k0=1,m=2,m=m+1=3
输入信息序列:
m={••…mi+1,mi,mi-1,mi-2,}
输出码字为:
[ci]={mi,pi1,pi2}
可以看出其监督关系为:
pi1=mi+mi-1
pi2=mi+mi-2
下面看一下在编码器一个约束长度的监督关系:
0mi-2+0pi-2,1+0pi-2,2+1mi-1+0pi-1,1+0pi-1,2+1mi+1pi,1+0pi,2=0
1mi-2+0pi-2,1+0pi-2,2+0mi-1+0pi-1,1+0pi-1,2+1mi+0pi,1+1pi,2=0
写成方程的矩阵形式:
其中码字序列[Ci]为截短卷积码;
[Ci]=[ci-2,ci-1,ci]=[mi-2,pi-2,1,pi-2,2,mi-1,pi-1,1,pi-1,2,ml,pi,1,pi,2]
定义其系数矩阵为:
截短卷积码的基本监督矩阵。
基本监督矩阵的一般形式为:
[h]=[PmOPm-10……P10POIrO]=[hmhm1……hlhO]
hm=PmO;
hm-1=Pm-10hl=P10;
h0=POIrO;
基本监督关系为:
[h][Ci]T=[O]
[h]矩阵为n0-k0二rO行,(m+1)xnO列矩阵;
IrO矩阵为(nO-kO)x(nO-kO)单位阵;
O矩阵为(nO-kO)x(nO-kO)零矩阵;
Pm矩阵为(nO-kO)xkO阶矩阵;
例如上面介绍的(3,2,2)系统卷积码的基本监督矩阵为:
[h]=[1OO010111]r0=3-2=1行;
(m+1)xn0=3x3=9列矩阵;
P2=[10];
P1=[01];
P0=[11]。
h2=100;
h1=010;
h0=111;
[初始截短卷积码的监督矩阵]:
初始截短卷积码定义为:
在编码器初始状态为零时,初始输入m+1
个信息码字编码器输出的卷积码。
即:
[C]初=[c0c1…cm]根据基
本监督矩阵的定义,可以很方便地得到初始截短卷积码的监督关系
为:
[H]初[C]初=[0],而监督矩阵为:
[H]初矩阵为(m+1)xr0行;
(m+1)xnO列;
(3,1,2)卷积码的[H]初为:
(3,2,2)卷积码的[H]初为:
ho
111
[H]初=
hiho
=
010111
h2hiho
100010111
[卷积码的监督矩阵];
上面介绍的是初始截短卷积码的监督矩阵,实际上卷积码的监督
矩阵应当是一个有头无尾的矩阵,它对应的基本监督关系为:
[H][C]T=[O]
其中:
[C]=[C0,C1,C2,……Cm,Cm+1,••…]
P0Ir0
h0
P10P0Ir0
h1h0
Pm0Pm-1。
P10P0Ir0
hmhm-1h1h°
Pm0Pm-10P10P0lr0
hmhm-1h1h0
Pm0Pm-10P10P0Ir0
hmhm-1h1h°
[H]=
例如(3,2,2)卷积码的监督矩阵为:
h2h1h0
100010111…
7-1-3卷积码的生成矩阵描述
卷积码同样也可以用生成矩阵来描述,
[卷积码的生成矩阵]:
同分组码一样,卷积码的生成矩阵与监督矩阵同样也有相互正交
的关系:
因此,可以很方便的得到:
截短卷积码的基本监督矩阵的一般形式为:
[g]=[gOg1……gm]=[lkOPOT0P1T……OPnT]
初始截短卷积码的监督矩阵的一般形式为:
(3,1,2)卷积码的这几种矩阵分别为:
[h]=000100110=[P20Pi0Pol2]=[h2hiho]
L」100000101L0^210J
[g]=[111010001]=[l1P0T0P1T0P2T]
g0g1g2
I1P0T0P1T0P2T
-f--f-
010
001
[G]初=
g0g1
Ik0P00P1=
lk0P°
T
000
g0
[卷积码生成矩阵的多项式描述]:
通过前面的(3,1,2)系统卷积码的例子的编码电路可以看出:
编码
器的三个输出支路可以由三个生成多项式来确定。
g
(1)(x)=1
g
(2)(x)=1+x
g(3)(x)=1+x2
一个(n0,k0,m)卷积码的支路生成多项式的一般形式为:
g
(1)(x)=gO
(1)+g1
(1)x+…+gm
(1)xmg
(2)(x)=g0
(2)+g1
(2)x+…+gm
(2)xm
g(nO)(x)=gO(nO)+g1(nO)x+…+gm(nO)xm
如果用向量表示支路的生成多项式为:
g(i)=[gO(i)g1(i)g2(i)……gm(i)]
这时,卷积码的基本生成矩阵为:
gm
(1)
[g]=[gOg1……gmI=jO
(1)gO
(2)…gO(nOg1
(1)g1
(2)…g1(nO)
gm
(2)…gm(nO)]
gO=[gO
(1)gO
(2)…gO(nO)]
gi=[gi(i)gi
(2)…gi(nO)]
gm=[gm⑴gm
(2)…gm(nO)]
由这个基本生成矩阵可以得到卷积码的生成矩阵和初始截短卷积码的生成矩阵等。
(3,1,2)系统卷积码的生成矩阵为:
g(i)=[gO(i)gi(i)g2(i)]=[iOO]
g
(2)=[gO
(2)g1
(2)g2
(2)]=[11O]
g(3)=[gO(3)g1(3)g2(3)]=[1O1]
gO=[111]
g1=[O1O]
g2=[OO1]
111O1OOO1
[非系统卷积码的描述]:
利用这种生成多项式表示的生成矩阵特别适合描述非系统卷积码
例:
已知:
(2,1,2)非系统卷积码的编码器
其(2,1,2)非系统卷积码的支路生成多项式为:
(1)
g(x)=1+x+x
g⑵(x)=1+x
g2⑴]=[111]
(1)
(1)
(1)
g=[go'
丿g1)
(2)⑵⑵
(2).
g=[g0g1g2]=[101]
其基本生成矩阵为:
[g]=[ll1011]
生成矩阵为:
111011
z111011
较好的方法是先得到生成矩阵,然后再
非系统卷积码的监督矩阵从电路图中很难得到,由生成矩阵求监督矩阵,(作练习)。
7-1-3卷积码的编码举例
(1)23
g(x)=1+x+x
⑵23
g(x)=1+x+x+x
1
[10111]*[1011]=[10000001]
10111000
1111
0(1+1)
1(1+1+1)
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