第3讲竖式问题完整版Word下载.docx
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根据黄金三角,得A=1,B=9,E=O,进而可以得到D=2,C=8.
2.如图3-2所示,每个英文字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字,其中“G”代表“5”,“A”代表“9”,“D”代表“O”,“H”代表“6”。
问:
“J”代表的数字是多少?
3
按题意,将G=5,A=9,D=0,H=6代入竖式得
①先看千位和百位,因为两个加数的百位数字是9和O,和的百位数字是O,因此十位向百位进1,百位向千位进1,则千位上的“C”只能是4.
②再看十位,已知十位向百位进位,如果个位向十位进1,那么9+E+1=16,此时E=6,与H=6矛盾,舍去;
如果个位没有向十位进1,那么9+E=16,此时E=7.
③最后看个位,因为不同的字母代表不同的数字,所以“B”、“F”、“j”只能是剩下的1、2、3、8这4个数中的某3个.因为个位没有向十位进位,所以有B+F=I.而在1、2、3、8这4个数中,只有1+2=3.所以,个位上的字母“I”=3,而“B”和“F”分别是1和2或是2和1.
综上,“I”代表3,原式可以是下面的两种情况:
3.
(1)在图3-3的加法竖式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
那么每个汉字各代表什么数字?
(2)在3-4的减法算式中,相同的汉子代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,那么每个汉字各代表什么数字?
(l)车=1.兵=5,炮=2,马=4,卒=0。
(2)炮=1,兵=2,马=9
(1)①看首位,因为2个四位数相加之和是一个五位数,所以这个五位数的首位一定是1,即“车”=1;
②看末位,两个“卒”相加之和的末位还是“卒”,因此“卒”只能是0.如图1所示.
③看千位,如果百位向千位进1,则“兵”+“兵”的末位是9,这不可能,
因此百位没有同千位进位,“兵”+“兵”=10,即“兵”=5.如图2所示.
④看十位,因为个位没有向十位进位,所以立即可知“马”=4.
⑤看百位,注意到百位没有向千位进位,十位也没有向百位进位,所以有“炮”+“炮”=4,从而得到“炮”=2.填完的竖式如图3所示:
(2)①看首位,因为一个四位数减去一个三位数等于另一个三位数,则四位数的首位只能是1,所以“炮”=1.
②看百位,因为被减数和减数的百位数字相同,并且百位向千位借位,因此十位也向百位借位,那么差的百位“马”=9.如图4所示.
③看个位,容易发现“兵”=2.此时“炮”、“马”、“兵”代表的数字都已确定,填好的竖式如图5.
经验证,竖式成立.
4.在图3-5的竖式中,相同的汉子代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,如果巧+解+数+字+谜=30,那么“”所代表的三位数是多少?
965
(1)看个位和十位.先看个位,因为5个“谜”之和的尾数还是“谜”,说明4个“谜”之和的尾数是O,则“谜”是
①当。
谜,,一o时,则个位没有进位,再看十位,4个“字”之和的尾数还是“字”,所以3个“字”之和的尾数一定是0,则“字”只能是0.这样的话,“字”和“谜”‘都是O,不合题意,舍去.
②当“谜”一5时,则个位向十位进2.再着十位,4个“字”与2之和的尾数是“字”,所以3个“字”之和的尾数是8,所以“字”=6.这时十位也向百位迸2..
(2)看百位,三个“数,,与2之和的尾数居。
数”,也就是说2个‘‘数’,之和的尾数是8,则“数’:
黾4或9.‘
①当“数”=4时,百位向千位进1,千位上“解”+“解”+1的尾数是“解”,这相当于“解”+1的尾数是0,所以“解”=9.
又因为巧十解十数+字十谜=30,所以巧=30-9-4-6-5=6,与“字”=6重复,舍去.
②当“数”=9时,百位向千位进2,千位上“解”+“解”+2的尾数是“解”,这相当于“解”+2的尾数是0,所以“解”=8.这时“巧”=30-8-9-6-5=2.“赛”=“巧”-1=1,满足题目要求,
综上,“”=965,填好的竖式如图所示:
5.图3-6所示的竖式中,相同的汉子代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,那么“”代表的四位数是多少?
1809
(1)看千位,可推断出“北”不是1就是2.又因为和的百位数字是0,所以百位必向千位进1,所以“北”只能是1.此时,4个加数的首位都已经知道,为了简化竖式,不妨把它们的首位去掉,也就是把4个加数分别减去1、10、100、1000,那么它们的和就相应减去1+10+100+1000=1111,新的和为2008–1111=897,如图1所示:
(2)分析进位可知,百位上的“京”可能是6、7或8.
①如果“京’’是6,那么十位向百位进2,此时京+奥十进位=29,而“京”=6,个位最多向十位进2,这不可能.
②如果“京”是7,那么十位向百位进1,此时京十奥十进位=19,而“京”=7,个位最多向十位进2,同样不可能.
所以“京”只能是8.类似地,也可以将三个加数的百位都去掉,相应地,它们的和也要减去8+80+800=888.
新的和为897–888=9,如图2所示,
所以“奥”只能是O,那么“运”就是9.
综上,“”代表1809,原式如图3所示:
6.已知图3-7所示的乘法竖式成立,那么“”是多少?
答案:
42857
①看个位,由于E×
3的末位是1,因此E=7,此时个位向十位进2.
②看十位,由于D×
3的末位是7-2=5,因此D=5,此时十位向百位进1.
③看百位,由于C×
3的末位就是5-1=4,因此C=8,此时百位向千位进2.
同理,得B=2,A=4.填好的竖式如图所示:
综上所述,A=4,B=2,C=8,D=5,E=7.因此“”=42857.
7.
(1)在图3-8的竖式中,相同的符号代表相同的数字,不同的符号代表不同的数字,那么☆、△、○分别代表什么数字?
(2)在图3-9的竖式中,相同的符号代表相同的数字,不同的符号代表不同的数字,那么☆、△、○分别代表什么数字?
(l)☆=2,△=5.O=1
(2)☆=4,△=5.0=2或☆=5,△=6,O=3
解析:
两个竖式中,因数与积的末位数字都相同,有这种性质的数字只有C、1、5、6,所以△只能是这4个数之一,但△显然不可能是0-和1,只能是5或6.
(1)①当△=6时,个位向十位进3,此时,十位上就是☆×
6+3,得到结果的尾数还是☆,所以☆只能是奇数.把1、3、5、7、9分别代人试验,发现都不
合适,故舍去.
②当△=5时,个位向十位进2,此时,十位上就是☆×
5+2,得到结果的尾数还是☆,所以☆只能是2或7,经试验,☆=7不可能,于是☆=2.所以原竖式如图1所示:
(2)①当△=6时,个位向十位进3,此时,十位上就是☆×
6+3,由于☆×
6-定是偶数,所以O只能是奇数.又因为三位数与6的乘积一定小于6000,所以O只能是1、3、5这3个数之一.
当○=1时,乘积为1116,乘数为6,所以被乘数为1116÷
6=186,不满足题意;
当○=3时,同理可得被乘数为3336÷
6=556,满足题意;
当○=5时,同理可得被乘数为5506÷
6=926,不满足题意.
因此当△=6时,只有一种符合题意的情形,如图2所示.
5+2,得到结果的尾数是○,则○只能是2或7.注意到,竖式的结果是一个三位数与5的乘积,所以它一定小于5000,也就是说它的首位○-定小于5,由此排除○=7的情形,所以○=2,此时☆=4,代人竖式符合题意,如图3所示,
8.在图3-10的竖式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,那么☆、△、○分别代表什么数字?
999
题中的乘法竖式包含了2个小乘法竖式—第一个乘数分别与第二个乘数的个位和十位相乘,如图1、图2所示:
①看图1,由CXC可知,E只可能取O、1、4、5、6、9之一。
②看加法竖式,得E>
2,所以E不能是O或1.如果E=4,则C=2或C=8.当C=2时,如图3,得F=4,与E数字重复,当C=8时,如图4,则2+8≠4,不合题意,所以E≠4.
如果E=5,则C=5,与E数字重复.所以E≠5.
如果E=6,则C=4或C=6.当C=4时,如图5所示,得F=8,则D+F≠6,不合题意.当C=6时,与E数字重复.所以E≠6.
如果E=9,则C=3或C=7.当C=3时,如图6,即使D+F往前进1,2+3+1≠9,不合题意,当C=7时,如图7,得F=4,进而A=3,D=5.
综上所述,得到完整的竖式如图8所示.
所以算式的乘积是999.
9.在图3-11和图3-12中的口内填入适当的数字,使下列除法竖式成立。
答案:
(1)从除法竖式中不难看出,除数与商的个位9的乘积是783,由783÷
9=87可知除数是87.
又因为余数为O,所以被除数就是除87×
69=6003.完整的竖式如答案所示.
(2)从除法竖式中不难看出,除数与商的十位8的乘积是232,由232÷
8=29可知除数是29.
又因为余数为0,所以被除数就是除数与商之积29×
85=2465.完整的竖式如答案所示。
10.有一个四位数,它乘以9后所得的乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数,求原来的四位数。
1089
设原来的四位数为,且A、B、C、D各不相同,根据题目条件,列出如图:
所示的竖式。
①看首位,发现只能A=1.由个位可知,D×
9的个位是1,得D=9,如图2所示.
②由百位可知,B×
9不进位,所以B只能取O或1.又A=1,所以只能B=0.此时可看出,个位向十位进8,那么C=8.因此原来的四位数为1089,如图3所示:
拓展篇
1.在图3-13和图3-14中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,求出它们使竖式成立的值。
巧=l,学=4,英=6,语=5;
奥=6,林=7,匹=8,克=9
(l)①看个位和十位,个位上4个“语”相加,和的个位是O,那么“语”只能是O或5.
当“语”=O时,个位没有向十位进位,在十位上,3个“英”相加,和的个位也应是O,因此“英”=O,这与“语”=O矛盾,舍去;
当“语”=5时,个位向十位进2,因为和的十位是0,所以在十位上,3个“英”相加,和的个位只能是8,因此“英”=6,此时十位向百位进2.
②看百位和千位,因百位上2个“学”相加,和的个位是8,因此“学”可能是4或9.
千位上“巧”至少是1,则百位向千位最多进1,而当“学”=9时,百位向千位进2,与最大进1相矛盾,因此“学”=4,此时“巧”=1.
综上所述,本题的答案如图l所示.
(2)①千位上只有一个“奥”,若百位不向千位进位,“奥”=7;
若进1,“奥”=6.
又百位上的加数中有“奥”,不管它是6还是7,它与“林”的和必大于5,而它们的和的个位是5,所以百位向千位进1,因此“奥”=6.
此时,4个加数的首位都已经知道,为了简化竖式,不妨把它们的首位去掉,也就是把4个加数分别减去6、60、600、6000,那么它
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