共边定理典型题解析Word文件下载.docx
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(1983年美国中学数学竞赛题)如图的三角形ABC勺面积为10,
DE、F分别在边BCCAA吐,且BD-2,DC=3,若厶BCE与四边形DCEF
的面积相等,则这个面积是()
A.4C.5D.6
面积,得△BFD与△BFE同底且面积相等,所以BF//DE可以得到AB为边的两个三角形△ABD
与厶ABE面积相等,因为三角形ABC勺面积为10,且BD-2,DC=3,所以△AB啲面积等于4,
即厶ABE面积等于4,所以△BCE勺面积等于10—4=6,故选C.
这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目.
例3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
•••OA=OCOB=OD由共角定理得:
△AOBACOD=OAOB=OC・OD=1即厶AOB=^CODA共底的两个三角形△ACB=^CBD/•AD//BC
同理可证AB//CD
问:
共边定理怎么证线段相等
答:
常常是共边与共角两个定理都会用到。
利用面积相等,并且面积比中有相等的线
段,消去等量,于是剩下的也是等量之比。
例4:
(等腰三角形两腰上的高相等)已知:
如图,AB=AC,CELAB于E,BDLAC于D,
求证:
BD=CE
11
解:
由三角形面积定理得:
S^abc=AB•CE=AC"
BD
22
•/AB=AC,aBD=CE;
本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等,相比于全等三角形证法要简洁得多。
例5:
如图,已知AD平分/BACBDLAD,DE//ACDE交AB于F点
BE=EC.
连接C、F,由平行线性质,得△DFC=^DFA
由AD平分/BACDF//AC可得/FAD=ZFDA二AF=由BDLAD得/FBD=ZFDBaBF=DF;
aAF=BF•••△DFB=^DFA△DFC=^DFBaBE:
EC=^DFC:
本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。
例6:
如图,△ABC中,AB=AC,BD=CE
DF=EF.
连接CDBE,vAB=ACDBC与ZBCE互补,
△DBC^BCE=BD-BC:
CE-BC
•/AB=AC,BD=CE,得厶DBC=^BCE
再由共边定理得:
△DBC:
ABCE=DF:
FE=1:
1
•••DMEF.
本题先用共角三角形定理证得厶DBCW^BCE面积相等,再由共边定
理推出线段相等。
相比于先作平行线构造全等三角形,再由全等三角形证线段相等的证法,面积法显然更巧妙。
例7:
在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D,使DCBC,作BEAD交AC
3
于E,求证:
AEEC•
1:
2,即:
△AFC:
△AFB=1:
2,又由BE
D
/1+Z2=Z3+Z2=90°
「./1=73,由共角定理得:
AF-AC:
AB-BF=
AAFB=1:
2
•••AF:
BF=1:
2,由厶AFB与厶AEB相似,得AE:
AB=1:
2,vAB=AC/•AE
=EC
本题先用CD:
DB=1:
2得到两个阴影三角形的面积之比为1:
2,再由共角三角形定理
证得AF:
2,过程相当简洁明了。
共边定理怎么证比例线段答:
共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值,或反过来,已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。
由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值,
ABCDEGHMNQ123
所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。
也因为图形选择的差异,造成了不止一种解法。
只有通过一定的练习量,才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。
AFABF11
形厶ABF和厶DBF、△DCF面积都相等,由图易得竺==丄,所以AF=JAC.
FCCBF23
△ABC中,D是BC上的一点,BD=2,E为AD上一点,A£
=2,求
DCED4
AFBE
FC'
EF
AF1
=丄,设△FAD=1,则厶FDC=6,•••△ADC=7;
由FC6
=14,•BE=BAD=匕.
'
EFFAD1'
例3:
(三角形角平分线性质定理)如图,AD平分/BAC
AD平分/BAC由共角三角形定理:
△ADB:
AADC=AB-AD:
AC-AD=AB:
AC
又•••△ADB:
AADC=BD:
CD•-AB:
AC=BD:
DC.
全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗
在新概念几何中,可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理,再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理,实际上,新教材中可以完全不用全等和相似方法.但作为欧式几何的宝贵遗产,在许多问题中它们有明显的优势,为了让两种教材更好地兼容,各取所长,减少新几何推广的阻力,张景中也是主张保留全等和相似方法的.
例如下面这道题目,三种解法就各有利弊.
1在厶ABC内任取一点P,连接PAPBPC分别交对边于X、Y、Z点.
例(梅涅劳斯定理):
在△ABC勺两边取X、Y,直线XY与BC勺延长线交于Z点.
2著名数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题解》前言中,给出了这样的一道几
=DCx^a(化为两组线段的比)
CLAD
=DACX^AC(化为有同一个三角形DAC的两组面积的比)
LACDAC
==2(消去公共三角形,化为线段的比)
LACGL
这道题的的难点在于没有全等,没有相似,也没有给定的比值,按照传统方法步.骤相
当多,也不易理解,所以20多年没有人给出简单巧妙的解•在熟悉了共边定理以后,这一
类题真的变简单了问:
怎样用面积法证面积题答:
已知比例求面积的题目,传统证法往往不易找到思路,所以成了难题,往往在中小学数学竞赛中出现•其实,这类题使用共边定理是最好的方法.
4:
如图,四边形ABCD中,△AOD面积=2,ADOC面积=3
△COB面积=6,求厶AOB面积.
解法1:
•/△AOD面积:
△DOC面积=2:
3=AO:
OC=^AOB面积
•/△COB面积=6•••△AOB面积=4
解法2:
•/△AOD面积:
△DOC面积=AO:
OC=^AOB面积:
△COB面积,
•△AOB面积DOC面积=厶COB面积AOD面积
这里得到一个新的定理:
四边形对角线分成的四个三角形中,相对的两个三角形面积的乘积
与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等.用上这个定理,就可以跳过共边定理直接
用最后一步解题了.
•△AOB面积=2X6-3=4.
5(17届希望杯全国赛初二第二试19题):
AE:
EC=Saed:
ScEd=1:
4
••则SABE=
=3,Sdec=_6_
BDi
6△ABC中,D点在BC边上,且,P点在BC边上的高AD上,
DC3
且AP1
PD2
BP的延长线交AC于E,若SABC=18,则SABE=,Sdec=
EC=
EC=_1:
5_.
7如图:
△ABC中,E为中点,AD:
DC=2:
〔,△EBF面积是15,求△ABC的面积.
连结CF,TE为中点且厶EBF面积是15;
ECF面积=△EBF面积=15;
•/AD:
DC=2:
1.△AFB面积:
△FCB面积=2:
.△AFB面积=60,E为中点•••△ACF面积=△AFB面积=60
•••△ABC的面积=15+15+60+60=150.
&
如图所示,已知在平行四边形ABCD中,AE:
EB=1:
2.
(1)求厶AEF与厶CDF的周长比;
(2)如果Sabcd=6平方厘米,求Saade
解答:
•••AE:
2•AE:
AB=AE:
CD-1:
3,由厶AEF^ACDF可得它们的周长
比为1:
3;
Saade=—Saabd=—Saabcd'
^Sabcd=6平方厘米.-Saade=1平方厘米.;
36
例11:
如图所示,BD,CF将长方形ABCD分成4块,△DEF的面积是4cmi,△CED的面积是
连结BF,则ABDF面积=△CDF面积=10,•△BEF面积=6;
设面积为X,则有:
6cmf.问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米
4x=6X6,x=9;
ABDC面积=15,长方形ABCD面积=30二四边形ABEF的面积是
15-4=11平方厘米
9如图,FBADEC互相平行,△ABC的面积为1,求厶FDE的面积。
解:
由AD//EC,得厶ADC=^ADE同理AABD=^AFD,
•••得厶ADEFAAFD=AABC=1
又由FB//EC得厶ECB=AECF•△ABCb^ACE=AAEF+AACE
即厶ABC=AAEF=1
•△FDE=AAEF+AAD+AAFD=2
10如图,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使CE=2BC,延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。
连结BDEC,由已知条件可得,△DAB=1,ADBE=2,ACBE=2,
△FCE=6,AFCD=6,
•△DEF=1+1+2+2+6+6=18
这题也是面积法最基本的题型•
11在ABC的三边BGCAAB上分别取点D、E、F,使BD=3DCCE=3AEAF=3FB,连
ADBE、CF相交得三角形PQR已知三角形ABC的面积为13cm,求三角形PQR勺面积.
图1
图2
由图1得:
△PQ=AABC-(△ABF+ABCQ-ACAR;
观察图2,连结PC,由CE=3AE,得厶APE:
ACPE=1:
3,又由BD=3DC得厶APB:
AAPC
=3:
设厶APB1,则厶CP&
3,AAPB=12,△ABB13;
由CB3AE,得厶ABE:
AABC=1:
4,•••△ABC=52,得△APB:
A
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