天津九年级数学知识点总结Word文档格式.docx
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先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式:
公式法的步骤:
就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c。
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤:
把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式
5、韦达定理
利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和等于-,二根之积等于,也可以表示为x+x=-,xx=。
利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用。
考点三、一元二次方程根的判别式
根的判别式:
一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即
I当△>
0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;
III当△<
0时,一元二次方程没有实数根。
考点四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是,那么,。
也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;
两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点五、一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了
一元二次方程易错题
一、选择题
1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0,则m的值等于()
A.1B.2C.1或2D.0
2、巴中日报讯:
今年我市小春粮油再获丰收,全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为,则可列方程为()
A.B.C.D.
3、已知是关于的一元二次方程的两实数根,则的值是()
A.B.C.D.
4、已知a、b、c分别是三角形的三边,则(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是()
A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
5、已知是方程的两根,且,则的值等于()
A.-5B.5C.-9D.9
6、已知方程有一个根是,则下列代数式的值恒为常数的是()
A.B.C.D.
7、的估计正确的是()
A.B.C.D.
8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是()
A.1B.12C.13D.25
9、中江县2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()
A.B.C.D.
10、设是方程的两个实数根,则的值为()
A.2006B.2007C.2008D.2009
11、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+c=0,方程ax2+bx+c=0必有实数根;
②若b+4ac<
0,则方程ax2+bx+c=0一定有实数根;
③若a-b+c=0,则方程ax2+bx+c=0一定有两个不等实数根;
④若方程ax+bx+c=0有两个实数根,则方程cx+bx+a=0一定有两个实数根.
其中正确的是()
A.①②B.①③C.②③D.①③④
二、填空题
1、若一元二次方程x-(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=.
3、方程(x﹣1)(x+2)=2(x+2)的根是.
4、关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a0)有两个相等实根,求的值为_______.
5、在等腰△ABC中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,则△ABC的周长为__________.
6、已知关于的一元二次方程x-6x-k=0(k为常数).设x,x为方程的两个实数根,且x+2x=14,则k的值为__________.
7、已知m、n是方程x-2003x+2004=0的两根,则(n-2004n+2005)与(m-2004m+2005)的积是.
人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结
✧相关概念及定义
Ø
二次函数的概念:
一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
二次函数的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
✧二次函数各种形式之间的变换
二次函数用配方法可化成:
的形式,其中.
二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①;
②;
③;
④;
⑤.
✧二次函数解析式的表示方法
一般式:
(,,为常数,);
顶点式:
两根式:
(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
✧二次函数图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
✧二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;
时,随的增大而减小;
时,有最小值.
向下
时,有最大值.
✧二次函数的性质:
X=h
✧抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
的符号决定抛物线的开口方向:
当时,开口向上;
当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴:
平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
顶点坐标:
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
✧抛物线中,与函数图像的关系
二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
✧求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法:
,∴顶点是,对称轴是直线.
配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
✧用待定系数法求二次函数的解析式
.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
交点式:
已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
.
✧直线与抛物线的交点
轴与抛物线得交点为(0,).
与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
抛物线与轴的交点:
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点;
③方程组无解时与没有交点.
抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
✧二次函数图象的对称:
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般
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