椭圆双曲线的离心率取值范围求解方法Word下载.docx
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e+1
号1—e_2c—e22e—1_0—e「2又1e:
d.e三〔2-1,1,选B
二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系
双曲线笃-每=1心0,b0)的两个焦点为已应,若P为其上一点,且
心率的取值范围是()A.(1,3)B.(1,3]
【解析】设
PFi=2PF2,则双曲线离
D.[3,:
:
)
PF2=m,ZFfF2=日(0vB兰兀),当P点在右顶点处日=兀,
52(2m)2_4m2c吨-.7_1”:
1,e(1,3].
2ce二
2am
三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
双曲线笃_与/a0,b0的两个焦点为FW,若P为其上一点,
且PF|=2PF2,则双曲线离心率
C.(3,+:
)D.13,■:
:
解:
|PF|IPF2=2a,
■'
|PF2=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得PF=2可知
AFP2F,2OF
OA-ca3a2a)=C_3又e1e~(1,3.1,选B
例2•已知双曲线务-每
为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。
=1(a0,b0)的左、右焦点分别是Fi、F2,p是双曲线右支上一点,p到右准线的距离
由题意得一“因为」
d超
,所以:
,从而
p*巧I。
又因为P在右支上,所以匚讣阴几'
-1..
xV
例3.椭圆二2=1(a.bi)的右焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直
四、利用圆锥曲线中X、y的范围建立不等关系
XV
例1、双曲线r牙=1(a.0,b.0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范ab
围是()A.(1,、.2]e.[、2,:
)c.(1,、21]d.[、21,:
222
aaa
【解析】^exo-a^Xo(e_1)x0a;
x0丄a,a亠(e_1)a,
ccc
.e-1乞1a=1e2-2e-1乞0=1「<2乞e辽1、、2,而双曲线的离心率e1,e(1r.21],
ce
例2、设点p在双曲线二2=1(a.0,b.0)的左支上,双曲线两焦点为F,、F2,已知IPFJ是点p到左准线I的
距离d和IPF2I的比例中项,求双曲线离心率的取值范围
的取值范围。
TT
FP=(xc,v),F2P=(x-c,v)
由FPF2=90,知FP-F2P,
贝VFPF2^0,将这个方程与椭圆方程联立,消去v,可解得
即(xc)(x-c)y2=0
222
得xvc
222,2
2ac-ab
x22-
a-b
但由椭圆范围及/FPF2=90
知0_x2:
a2
2222
ac_ab2
即022a
从而得e=c
所以e・[二
1)
解析2:
由焦半径公式得
|PF1^aex,|PF2|=a-ex又由|PF1|2|PF2|2=|F1F212,所以有
2c222c22^2
a2cxexa-2cxex4c
222222C-a
即aex2c,x
又点P(X,
e
y)在椭圆上,且x=二a,则知0_x2:
a2,即
c22
c-a
0<
J2得e・[2
例3已知椭圆
e的取值范围.
1)
—2
xy
—+^y=1(a>
b>
0)的左、右顶点分别为A、B,如果椭圆上存在点P,使得ZAPB1200,求椭圆的离心率
设P(X。
yo),由椭圆的对称性,不妨令0<
xova,0<
yo<
b.丁A(—a,0),B(a,0),二kPA
yo
工,kPB
x°
ax°
-a
vZAPB=1200,「.tan/APB-V3,又tan/APB=kPB_kPA=?
2ayo
1+kPBkPAx°
+y°
-a2
2ay。
X0y0-a
2ab2
点P在椭圆上,bx^+a^y^=ab②由①、②得y°
=_
y'
3(a2-b2)
.v0<
严b「0<
2ab2wb.
寸3(a2_b2)
6
丁a>
0,「.2abw.3(),即4a'
bw3c,整理得,3e"
+4e'
4>
0.考虑0<
e<
1,可解得<
1.
3
四、利用判别式建立不等关系
例1、设椭圆2
-岭=1(ab0)的左右焦点分别为F「F2,如果椭圆上存在点P,使/F1PF2=900,求离心率e
b
由椭圆定义知|PF1||PF2>
2^|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2h4a2
又由.FjPF2=90,知
|PFi|IPF2ITF1F2I=4c则可得|PF1||PF2^2(a2-c2)
这样,|PFi|与|PF2|是方程u2-2au•2(a2-c2)=0的两个实根,因此
.■:
=4a-8(a—c)_0
2c21
=e2
a2
X2
例2、已知双曲线—-y=1(a.0)与直线|:
x•y=1交于p、q两个不同的点,求双曲线离心率的取值范围。
解析:
把双曲线方程和直线方程联立消去x得:
(1_a2)y2_2yT_a2=0,1_a2=0时,直线与双曲线有两个
c21
不同的交点则.:
0,a=4一4(1—a2)2=4a2(2—a2).0,即a2:
2且a=1,所以e22=12
aa
五、利用均值不等式建立不等关系
小值8a,又|PF2|_c-a所以2a_c-a,则1:
e-3
例3、设椭圆—2=1(ab.0)的左右焦点分别为F2,如果椭圆上存在点P,使/F1PF2=900,则离心
率e的取值范围
由椭圆定义,有2a=|PF1|pPF2|平方后得
4a2TPRI2IPF2I22IPF1IIPF2I空2(|PF1|2|PF2|2)=2IF1F2IS8C2
得所以有e[彳,1)
b422
y』22彳必2=(ty1-c)(ty2-c)二ty』2-ct(y1y?
)c,由op丄oc得x^2yp?
=0,
bt-a
42244223'
-1'
5-.51
a-3acc-0,e-3e1_0,e,所以e-
练习
1、设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足/FPF2=120°
则椭圆的离心率的取值范围是(
设,P(X!
%),F!
(-c,0),F2(c,0),c>
0,则|PF!
|=a+exi,|PF2|=a-ex1.
在厶PFE中,由余弦定理得cos120°
(a纠)2(aex)2-4c2,解得才
4c23a2
/.4c2-3a2>
0.且e2<
1/•e€[
2(a+exi)(a_ex)
e2
txi2€(0,a2],
x
2、设F1>
F2分别是椭圆厂-2
=1(a■b■0)的左、右焦点,若在其右准线上存在点
P,使线段PF1的中垂线过点
F2,则椭圆离心率的取值范围是(
c.孑)
D.if,1)
【解析】设若P为右准线与X轴的交点,可知—-^2c,即e2
c
)A.(0,乎]B.(0,申
23
1a2
,又P在右准线上可知c_2c,所以离心
3c
率的取值范围为[2)•
Xy
3、椭圆一^—=1的焦点为F“F2,两条准线与x轴的交点分别为
M,N•若
MN兰2F,F2,则该椭圆离心率的
取值范围是()
1
A.(0Q
c.[齐)
【解析】因为两准线距离为
2a2
,又因为F1F2=2c,所以有
D.[乎⑴
22V2
-4c,即a_2c2,所以'
e:
1.
4、已知双曲线亠一社
b2
个交点,
则此双曲线离心率的取值范围是(
=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一
)a.(1,2]b.(1,2)c.[2,
D.(2「:
【解析】如图
l1与l2分别为与双曲线—2=1的渐近线平行的两条直线,直线I为过F且倾斜
60:
的直线,
要使I与双曲线的右支有且只有一个交点,则应使
—_tan60"
=\3a
e"
(:
)2-2•
“y
5、设点P在双曲线
2X~2a
=1(a0,b0)的右支上,双曲线两焦点斤、F2,|PR|=4|PF2|,求双曲线离心
率的取值范围。
解析1:
由双曲线第一定义得:
|PF,|—|PF2|=2a,与已知|卩斤|=4|卩卩2|联立解得:
82
|PF戶一a,|PF2戶一a,由三角形性质
33
解析2:
|PR|=-a,|PF21=—a,点
|PFi|■|PF2||FiF2|
得:
3a
p在双曲线右支上由图1
-
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