二次函数的最值问题Word格式.docx
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故选C.
3.已知0≤x≤,那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是()
A-10.5B.2C.-2.5D.-6
解:
∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2.∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.又∵0≤x≤
,∴当x=
时,y取最大值,y最大=-2(
-2)2+2=-2.5.故选:
C.
4、已知关于x的函数.
下列结论:
①存在函数,其图像经过(1,0)点;
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;
③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;
④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。
真确的个数是()
A,1个B、2个C3个D、4个
B
分析:
①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;
②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;
③根据二次函数的增减性,即可作出判断;
④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断.
①真,将(1,0)代入可得:
2k-(4k+1)-k+1=0,
解得:
k=0.运用方程思想;
②假,反例:
k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;
③假,如k=1,
,当x>1时,先减后增;
运用举反例的方法;
④真,当k=0时,函数无最大、最小值;
k≠0时,y最=,
∴当k>0时,有最小值,最小值为负;
当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.
二、填空题:
1、如图,已知;
边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是
12
2、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是
4、4,8
设直角三角形得一直角边为x,则,另一边长为8-x;
设其面积为S.∴S=x·
(8-x)(0<
x<
8).
配方得
S=-(x2-8x)
=-(x-4)2+8
∴当x=4时,S最大=8.
及两直角边长都为4时,此直角三角形的面积最大,最大面积为8.
3、函数的最大值与最小值分别是
2,0
最小值为0,当4x-x2取最大值时最大,即x=2时,最大为4,所以,当x=0时,y最大值为2,当x=2时,y取最小值为0
4、已知二次函数y=x2+2x+a(0≤x≤1)的最大值是3,那么a的值为
二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1,当0≤x≤1时y随x的增大而增大,当x=1时最大值为3,代入y=x2+2x+a得a=0.
5、如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,则这样线段的最小长度.
三、解答题:
1某产品第一季度每件成本为元,第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为
⑴请用含的代数式表示第二季度每件产品的成本;
⑵如果第三季度该产品每件成本比第一季度少元,试求的值
该产品第二季度每件的销售价为元,第三季度每件的销售价比第二季度有所下降,若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于元,设第三季度每件产品获得的利润为元,试求与的函数关系式,并利用函数图象与性质求的最大值(注:
利润销售价成本)
(1)⑵解得
(3)解得而,∴
而
=
=
∵当时,利用二次函数的增减性,随的增大而增大,而,
∴当时,最大值=18(元)
说明:
当自变量取值范围为体体实数时,二次函数在抛物线顶点取得最值,而当自变量取值范围为某一区间时,二次函数的最值应注意下列两种情形:
若抛物线顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值。
若抛物线的顶点不在该区间内,则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。
2、如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
(1)设二次函数的解析式为:
y=a(x﹣h)2+k
∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)
∴y=a(x﹣4)2+k,=16a+k①
又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1,0),B(7,0)
∴0=9a+k②
由①②解得a=,k=﹣
∴二次函数的解析式为:
y=(x﹣4)2﹣
(2)∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD,
∴∠BPM=∠BDO,
又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴点P的坐标为(4,)
(3)由
(1)知点C(4,),
又∵AM=3,
∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,
∴∠ACM=60°
,
∵AC=BC,
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有BQ=6,∠ABQ=120°
,则∠QBN=60°
∴QN=3,BN=3,ON=10,
此时点Q(10,),
如果AB=AQ,由对称性知Q(﹣2,)
②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,
此时点Q的坐标是(4,),
经检验,点(10,)与(﹣2,)都在抛物线上
综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10,)或(﹣2,)或(4,).
3、如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
(1)∵该抛物线过点C(0,-2),
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2,
将A(4,0),B(1,0)代入,
得,
解得,
∴此抛物线的解析式为;
(2)存在,
如图,设P点的横坐标为m,则P点的纵坐标为,
当1<m<4时,AM=4-m,,
∵∠COA=∠PMA=90°
,
∴①当时,
△APM∽△ACO,
即4-m=2,
解得m1=2,m2=4(舍去),
∴P(2,1);
②当时,
△APM∽△CAO,
即,
解得m1=4,m2=5(均不合题意,舍去),
∴当1<m<4时,P(2,1),
类似地可求出当m>
4时,P(5,-2),
当m<
1时,P(-3,-14),
综上所述,符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14);
(3)如图,设D点的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为,
过D作y轴的平行线交AC于E,
由题意可求得直线AC的解析式为,
∴E点的坐标为,
∴当t=2时,△DAC的面积最大,
∴D(2,1)。
4如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上,EG⊥AD,FH⊥BC,垂足分别是G,H,且EG+FH=EF.
(1)求线段EF的长;
(2)设EG=x,△AGE与△CFH的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出S的最小值.
5.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.
(1)求证:
MN∥AB;
(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?
若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;
若不存在,请说明理由.
(1)由题中条件可得△ACE≌△DCB,进而得出△ACM≌△DCN,即CM=CN,△MCN是等边三角形,即可得出结论;
(2)可先假设其存在,设AC=x,MN=y,进而由平行线分线段成比例即可得出结论.
解答
(1)证明:
∵△ACD与△BCE是等边三角形,
∴AC=CD,CE=BC,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE与△DCB中,
∵AC=CD
∠ACE=∠BCD
CE=BC
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴∠CAE=∠BDC,
在△ACM与△DCN中,
∵∠CAE=∠BDC
AC=CD
∠ACM=∠DCN
∴△ACM≌△DCN,
∴CM=CN,
又∵∠MCN=180°
-60°
=60°
∴△MCN是等边三角形,
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB;
(2)解:
假设符合条件的点C存在,设AC=x,MN=y,
6、如图,在中,∠°
,,的面积为,点为边上的任意一点(不与、重合),过点作∥,交于点.设以为折线将△翻折,所得的与梯形重叠部分的面积记为y.
(1).用x表示∆ADE的面积;
(2).求出﹤≤时y与x的函数关系式;
(3).求出﹤﹤时y与x的函数关系式;
(4).当取何值时,的值最大?
最大值是多少?
解:
(1)∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC∴
即
(2)∵BC=10∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤时
(3)﹤10时,点A'
落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'
DE=S△ADE=
∴DE边上的高AH=AH'
=
由已知求得AF=5
∴A'
F=AA'
-AF=x-5
由△A'
MN∽△A'
DE知
(4)在函数中
∵0﹤x≤5∴当x=5时y最大为:
在函数中
当时y最大为:
∵﹤
∴当时,y最大为:
7、如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与Y轴交于C点,
A
O
D
E
M
X
Y
且A(-1,0)。
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论。
(3)点M(m,0)是X轴上的一个动点,
当MC+MD的值最小时,求m
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- 二次 函数 问题