学年河北省邢台市高二上学期期末考试数学理试题2.docx
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学年河北省邢台市高二上学期期末考试数学理试题2
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期末考试
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设命题:
,,则命题的否定为()
A.,B.,
C.,D.,
2.已知抛物线的方程为,则的焦点坐标是()
A.B.C.D.
3.用反证法证明命题“三角形内角中至多有一个钝角”,假设正确的是()
A.假设三个内角都是锐角B.假设三个内角都是钝角
C.假设三个内角中至少有两个钝角D.假设三个内角中至少有两个锐角
4.下列命题为假命题的是()
A.函数无零点B.抛物线的准线方程为
C.椭圆的离心率越大,椭圆越圆D.双曲线的实轴长为
5.“”是“”成立的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.以为圆心,且与直线相切的圆的方程为()
A.B.
C.D.
7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
8.设是椭圆:
的两个焦点,点是椭圆与圆:
的一个交点,则()
A.B.C.D.
9.小方,小明,小马,小红四人参加完某项比赛,当问到四人谁得第一时,回答如下:
小方:
“我得第一名”;小明:
“小红没得第一名”;小马:
“小明没得第一名”;小红:
“我的第一名”.已知他们四人中只有一人说真话,且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是()
A.小明B.小马C.小红D.小方
10.抛物线:
的准线与轴交于点,点为焦点,若抛物线上一点满足,则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为(参考数据:
)()
A.B.C.D.
11.在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为()
A.B.C.D.
12.设双曲线:
的左、右焦点分别为,过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为,已知,,点是双曲线右支上的动点,且恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的方程是.
14.若圆与圆的公共弦的弦长为,则.
15.设函数,观察:
,
,
,
,
……
根据以上事实,由归纳推理可得:
当且时,.
16.已知为曲线:
上任意一点,,则的最大值是.
三、解答题(本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知命题:
若,则,:
.
(1)写出的逆否命题;
(2)判断的真假,并说明理由.
18.已知圆:
,直线:
.
(1)若直线与圆交于两点,求;
(2)是否存在常数,使得直线:
被圆所截得的弦的中点在直线上?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.如图,在直三棱柱中,已知,,,.
(1)证明:
;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.已知抛物线:
的焦点为,原点为,过作倾斜角为的直线交抛物线于两点.
(1)过点作抛物线准线的垂线,垂足为,若直线的斜率为,且,求抛物线的方程;
(2)当直线的倾斜角为多大时,的长度最小.
21.如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,平面,,是棱上的一个点,,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22.已知椭圆:
的焦距为4,且点在椭圆上,直线经过椭圆的左焦点,与椭圆交于两点,且其斜率为,为坐标原点,为椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,延长分别与椭圆交于两点,直线的斜率为,求证:
为定值.
试卷答案
一、选择题
1-5:
ACCCB6-10:
BDCAD11-12:
BA
二、填空题
13.14.15.16.8
三、解答题
17.解:
(1)的逆否命题:
若,则.
(2)若,则,∴,∴为真,
∵方程的判别式,∴方程无解,∴为假.
故为真,为真,为假.
18.
(1)因为圆心到直线:
的距离,
所以.
(2)记直线与圆两交点的坐标分别为,
由得,
所以,
所以中点坐标为,
将其代入直线方程,得
所以
又由
得
所以不存在这样的.
19.
(1)因为四边形是矩形,,
所以
又因为,,所以平面
因为,所以平面,,
又,所以平面,从而.
(2)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系
因为,所以,又,
故,
设为平面的法向量,则即,
取,解得,
∴为平面的一个法向量
显然,为平面的一个法向量
则.
据图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为.
20.
(1)准线与轴的交点为,则由几何性质得,
∵且,
∴为等边三角形,得,
∴抛物线方程为.
(2)∵,∴直线的方程可设为,
由得,
设,则,得,
所以,当且仅当等号成立,
∴.
21.
(1)证明:
连接,设,取的中点,连接,
在中,因为分别为的中点,所以
又平面,所以平面
同理,在中,平面
又,
所以平面平面,
因为平面,所以平面.
(2)解:
以为坐标原点,分别以所在的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系
在等边三角形中,因为,所以,
因此
设平面的一个法向量为,则即,
取,得,
设直线与平面所成的角为,则
.
22.解:
(1)由题意知,,且
∴解得
椭圆的方程为.
(2)由
(1)可得,设,,
可得:
,
∴联立方程,
∴,∴,
∴,∴
同理,直线与椭圆交点的坐标为
∴
设:
,∴
代入可得
,
∴为定值.
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