同构法解决混合指对数不等式恒成立问题Word下载.docx
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kx1
fx2kx2
(2)
f(Xi)-
■f(X2)
k
、,o
o
kx1x2
\2
<
X1
/
TX1
tX2>
=
Xi
X2
X1X2
X,X2
?
fX1
—>
fX2
—
-为减函数。
含有地位同等的两个变量,进行分组整理,是一种常见变形,如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性,往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)。
2、指对跨阶想同构,同左同右取对数。
同构基本模式:
(1)积型:
aeawblnb(三种同构方式)
1同右:
ealnea<
blnb,即:
2同左:
aeawInbelnb,即:
3取对:
alnalnblnlnb。
即:
。
小结:
在对“积型”同构时,取对数是最快的(单调性容易求解)
ab
(2)商型:
?
・<
R(三种同构方式)
alnb
aInb
ee
①同左:
<
,即:
aInb
②同右:
拾喘,即:
x
Inx
③取对:
aIna<
InbInInb,fxxInx。
(3)和差型:
eaabInb(两种同构方式)
eaa>
eInbInb,即:
②同右:
eaInea>
bInb,即:
3、无中生有去同构,凑好形式是关键,凑常数或凑参数,如有必要凑变量。
axax
(1)ae>
Inxaxe>
xlnx(同时乘x)。
后面转化同2.
(1)
(2)ex>
aInaxaa丄exInax11exInaIna>
Inx11
a
xlna,,““,“Inx1「「「
exIna>
Inx1x1=Inx1e(同时力口x)
xInaInx1。
、x.xInaInX.xIna.,-亠亠八,,、
(3)aIogaxexlnaexInx,后面转化同2.
(1)
Ina
4、同构放缩需有方,切放同构一起上。
这个是对同构思想方法的一个灵活运用。
利用切线
放缩,往往需要局部同构。
【利用切线放缩如同用均值不等式,只要取等号的条件成立即
可】
掌握常见的放缩:
(注意取等号的条件,以及常见变形)
(1)exx1ex1xexex
xxlnxexlnxXlnxx
变形:
xeexInx1,exInx1;
—xeInxx1xe
ex2lnx。
2xx2Inx2xx2Inx
xeex21nx1,xee
(2)Inx
x1
Inexxlnx
lnxx1Inxex2;
e
11
xInxx1o
xIn
xxex,xInx
e
In—o
xx
xexexlnx,—ex"
x,-^elnxx,xInxInxex,xInxIn巳等,这些变形xex
新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的。
对解决指对混合不等式问题,如恒成立求参数取
值围问题,或证明不等式,都带来极大的便利•当然,在具体使用中,往往要结合切线放缩,
或换元法。
可以说掌握了这些变形新宠及常见切线型不等式,就大大降低了这类问题的难度。
、题型赏析
例1、对下列不等式或者方程进行同构变形,并写出相应的同构函数。
(1)log2xk2"
0
2x1■—
(2)eInx0
(3)
m
x21nxmex0
(4)
1
aeax12x-1nx
(5)
alnx12x1ax2e
(6)
xalnxexxax1
(7)e
2xInx0
(8)x2exInx0
例2、已知不等式axlogaxa
0,
恒成立,则a的取值围是
例3、若对任意x
0,恒有a
ax
e1
2x—Inx,则实数a的最小值为
例4、已知函数fxexalnax
aaa0,若关于x的不等式fx0恒成立,则
实数a的取值围是(
例5、对任意x0,不等式2ae2x
lnxlna0恒成立,则实数a的最小值为
例6、已知函数
xmlnx13x3,若不等式
xmx3ex在0,
上恒成立,
则实数m的取值围是(
例7、已知Xo是函数
fxx2eX2Inx2的零点,则eXoInx0()
例8已知函数fx
值是()
xeax1Inxax,若fx0对任意x0恒成立,则实数
a的最小
例10、已知fxxexax2,gxInxxx21,当a0时,若
hxfxagx0恒成立,数a的取值围。
例11、已知a0,函数fxexaInxa1x0的最小值为0,则实数a的取值
围()
例12、完成下列各小题
已知/(x)=)nx+x-x^+1f则函数fg的最大值为
函数代刃=护-込的最小值眾(
函数=(x+Inx+lJe_A一x的最人值是函数fW=空半的蛇小値足.
例14、综合题型
(1)=-a(^4-lnx}t若fO)王Otii虑立,则真数乜的取他就圈足:
(2)已-a(x+lux+1),若fOO乏。
恒虑立,则iElfai的取值范用咼.*
(3)已知函ft/tx)■xe1+e-a(x+Int+1)F若fOQ吉0^成立.则正数立的取总范懼是:
已知爪等式上衣一迂厲+1)生]n工对任罰|我计点上、则实數a的取值范開是.
(51LA^Lfift/(x)=xJ,ex-alnAf-x-l(x>
1),其屮b>
0.若/'
QOkOfci成立+则理甦『甜时大小
关暴是;
®
已知函£
t/(X)=a^-Jn^-Kn/(r)>
.刚实数氏的取值范国是」
(7)已知甫數FCtJ=n0—1”一仁若FCdXD桓成立.則宾勲1的燃讥范国足;
(B)已知不等式M-1>
ix+lni■讨也€(0,+«
9恒成也.kljjfc的毘大值为*
9>
7不TTAar+xe_flX-lnx-1^0^x>
0恒成立*则实Ifta的取伉范雨是;
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- 关 键 词:
- 同构 解决 混合 对数 不等式 成立 问题