东北师范大学《量子力学》期末考试通过必备真题库参考答案22Word文档下载推荐.docx
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(2);
(3);
(4)。
解:
(1),
,即为厄米算符。
(2),
不是厄米算符。
(3),
,即不是厄米算符。
(4),
二.质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态,
若弹性系数突然变成,即势场变成,随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场基态的几率;
(只列出详细的计算公式即可)
粒子的波函数随时间的变化满足方程
对时间区间积分得
可见,当发生突变(由)、但变化量有限时,不变。
以和分别表示场和场的基态波函数,当势场突然由变成后,粒子的波函数仍为。
由于已变为,新势场中的基态是。
于是随即测量粒子的能量,则测得粒子处于态的概率为,即粒子能量为新基态能量的概率为。
将和写成标准形式:
可得,又有:
其中
因此
所求概率为
三.已知二维谐振子的哈密顿算符为,在对其施加微扰后,利用微扰论求第一激发态能量至一级修正。
提示:
,其中,,而为线谐振子的第个本征矢。
若选
(1)
则
(2)
已知的本征解为
(3)
令(4)
则零级近似能量本征值可写成(5)
第一激发态,简并度为。
在简并子空间中,相应的零级近似解为
(8)
能量一级修正满足的本征方程为
(9)
相应的久期方程为
(10)由(11)
可以求出微扰矩阵元(12)
而(13)
将(13)和(14)的矩阵元代入久期方程(10),得到
(14)
显然,能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级,即将二度简并完全消除。
为了求出近似本征矢,将代回本征方程
(15)
得到
(16)
由归一化条件可知
(17)
于是,得到相应的零级本征矢为
(18)
同理可得,相应的零级本征矢为
(19)
四.已知,求证
证明:
用数学归纳法证明。
当n=1时,
假设当指数为n=k时,也成立。
即:
,则当指数为n+1时,
成立,所以
五.一个三维运动的粒子处于束缚态,其定态波函数的空间部分是实函数,求此态中的动量平均值。
定态波函数的一般形式为
为能量。
由题可知。
由于是束缚态,必定有(当)。
于是可按下式计算动量平均值,如
对也有同样结果。
六.质量为的粒子作一维自由运动,如果粒子处于的状态上,求其动量与动能的几率分布及平均值。
做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为
显然两者相互对易,有共同完备本征函数
分别满足
将向展开,即
展开系数
只有当时,,利用归一化条件
可知归一化常数为
于是归一化后的展开系数为
动量的取值概率为
平均值为
动能的取值概率与动量相同,而平均值为
练习题第2套参考答案
1.指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。
A.;
B.;
C.;
D.;
E.;
F..
B,E,F不正确。
B中是力学量,是态在的振幅,不能用一个点的振幅代表态。
E,F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量,右边是有具体表象决定的波函数。
2.简述态迭加原理。
若,且,那么的物理意义是什么?
迭加原理:
如果,是体系的可能状态,那么它们的线性迭加
(是复数)也是这个体系的一个可能状态,这就是量子力学的态迭加原理。
的物理意义:
在态中包含态的振幅,是包含态的几率。
当是某一个算符本征值时,就是这个本征值在这个态中出现的概率。
3.在一维谐振子基态得经典区域之外,粒子出现的几率也不为零,这是否意味粒子的动能可为负值?
怎样解释这一结果?
不能。
因为
4.确定,,哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。
,是厄米算符,
二.质量为m的粒子,在阱宽为a的一维无限深势阱中运动,若t=0时,体系处于
态,式中,n=1,2,3……
求:
(1)t=0时,及的几率
(2)t>
0时的波函数,能量的可能取值及相应几率。
(3)若粒子处于基态,求
A.粒子的动量分布(只列公式,不必计算)
B.当阱宽突然变为2a时,求粒子处于新的基态的几率(只列公式,不必计算)。
(1)
的几率是
(2)三个可能值分别为,和,它们相应的取值几率分别为,和
(3)A.将向动量本征态展开,即
B.因为阱宽度突然变为,粒子状态还来不及变化,
所以粒子仍处于态,而由于阱宽度变为,新的的本征态已变,设为,,则此时处于此态几率为
三.对于一维运动,求算符的本征值和本征函数,。
在表象中,
,,
,
因为本征值为任意实数。
四.用狄拉客符号导出由F表象到G表象的表象的波函数及其算符的变换公式,写出么正变换矩阵。
在F表象中,
。
是么正变换矩阵元。
五.在能量表象中,一维谐振子在t=0时的状态为
求
(1)能量的可能值及相应几率;
(2)能量平均值;
(3)t时刻粒子的波函数.
(1)首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开,由可得,
由,可得能量可能测值为对应的几率分别为
(2)用来求得平均值为,或
(3)而时刻波函数。
六.,ε=ε*<
<
1,求:
1.H的近似到的能量本征值;
2.和近似到ε的波函数(用微扰法)
将矩阵改写成
能量的零级近似为
能量的一修正为
利用能量二级修正公式
求出能量二级修正的具体结果是
近似到二级的能量为
利用波函数一级修正的公式
可以求出波函数的一级修正为
近似到一级波函数为
《量子力学》练习题二参考答案
练习题第3套参考答案
一.基本概念及简答
1.指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。
2.和是否相等?
3.波函数的导数是否一定要连续?
4.如果,且,都是束缚态,则
这里考虑了是束缚态,因而是有限的,及。
同理可证
如令则,由此得。
二.计算对易关系,其中,。
(2)
同理可得
;
(3)
;
(4)
三.5.质量为的粒子处于能量为的本征态,波函数为,问粒子在什么样的位势中运动?
由,得
这是谐振子势。
四.求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
偶极近似的情况下,。
在只考虑电场作用,即,偶极近似的情况下,。
跃迁几率与矩阵元成正比。
在线性谐振子的情况下,利用
得
可见,要使,必须
或
由此得
此即线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
(1)能量的可能值及相应几率
(2)能量平均值
(3)t时刻粒子的波函数
五、设
1.求的准确本征值。
2.若,,求的近似到二级的本征值,并与准确解的结果进行比较。
设本征值为,求解久期方程
得到
2.将哈密顿分解
根据微扰论,第一级本征值近似为,所以均为零,而第二级近似为
所以近似到二级为,,
练习题第4套参考答案
一基本概念基本解题方法
1什么是量子力学中的守恒量?
其主要特征是什么?
什么定态?
定态主要特征是什么?
若,则A为量子体系的一个守恒量。
其主要特征:
无论体系处于什么状态(定态或非定态),守恒量的平均值及其可测值的概率分布不随时间改变。
若哈密顿不含,则的本证态,即能量有为以唯一确定之值的状态为定态。
其特征是,定态中任何一个物理量,无论是否守恒量,其平均值及可测值的出现概率都不随时间变化。
2已知,求证
3已知,为厄米算符,则也为厄米算符的条件是什么?
,若为厄米算符,则,即,即反对易。
4.若一个算符与角动量算符的两个分量对易,则其必与的另一个分量对易;
(1)设由角动量对易关系可得
二.线谐振子受到一个方向均匀电场的作用,求其能级。
设该线谐振子的质量为、电荷为、角频率为。
在均匀电场作用之下,线谐振子的哈密顿算符为
(1)
利用配方的方法改写其势能项为
(2)
若令
(4)
则定态薛定谔方程可以写为
(5)
此即正常的线谐振子的能量本征方程,它的解为
(6)
利用(3)、(4)式可以得到电场中线谐振子的本征解为
(7)
三.求算符在动量表象中的矩阵表示。
解:
本题既可以在坐标表象下进行,也可以在动量表象下完成,得到的结果是完全相同的,只要一种解法即可。
解法1,在坐标表象中计算。
这时,有
(2)
在动量表象中的矩阵元为
解法2。
在动量表象中计算。
(4)
(5)
(6)
上式的最后一步用到
(7)
或者,利用矩阵元的厄米性质
亦可得到同样的结果。
四.设粒子在宽为的非对称的一维无限深势阱中运动,若粒子处于状态
求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。
已知在无限深势阱中运动的粒子的能量本征解为
由展开假设可知
其中,展开系数为
其中,用到下列三角函数公式
由(4)式知,波函数是归一化的。
于是,能量的可能取值为,其相应的几率为
取其它值的几率为零。
五.耦合谐振子的哈密顿算符为
.
(1)(5’)求其零级定态波函数的简并度。
(2)(20’)试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。
已知
。
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