导数用于单调性和极值问题教学文案Word文件下载.docx
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C.y=3x-1D.y=x2
9.设函数f(x)=+lnx,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
10.若函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则f′(x0)=0是x0为函数y=f(x)的极值点的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.函数y=x·
ex的最小值为________.
12.若函数f(x)=(a>
0)在[1,+∞]上的最大值为,则a的值为________.
题型六、利用极值求参数范围
13.已知函数f(x)=asinx-bcosx在x=时取得极值,则函数y=f(-x)是( )
A.偶函数且图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且图象关于点(,0)对称
C.奇函数且图象关于点(,0)对称
D.奇函数且图象关于点(π,0)对称
14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)在x=0处取得极值,并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性.
(1)求实数b的值;
(2)求实数a的取值范围.
题型七、导数用于解决实际问题
15.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
16.一工厂生产某型号车床,年产量为N台,分批进行生产,每批生产量相同,每批生产的准备费为C2元,产品生产后暂存库房,然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为C1元,求在不考虑生产能力的条件下,每批生产该车床________台,一年中库存费和生产准备费之和最小.
题型八、图像问题
17.二次函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线,y=f(x)的图象的顶点在( )
A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限
C.第Ⅲ象限D.第Ⅳ象限
18.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )
巩固练习:
19.定义域为R的函数f(x)满足f
(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>
,则满足2f(x)<
x+1的x的集合为( )
A.{x|-1<
x<
1}B.{x|x<
1}
C.{x|x<
-1或x>
1}D.{x|x>
20.函数f(x)=sinx+2xf′(),f′(x)为f(x)的导函数,令a=-,b=log32,则下列关系正确的是( )
A.f(a)>
f(b)B.f(a)<
f(b)
C.f(a)=f(b)D.f(|a|)<
21.若关于x的方程x3-3x+m=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[0,2]
C.[-2,0]D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
22.已知函数f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是________.
23.已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为________.
三、解答题
24.求证:
x>
0时,1+2x<
e2x.
25.设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
26.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求矩形的面积最大时的边长.
27.已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
28.设函数f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>
0时,(x-k)f′(x)+x+1>
0,求k的最大值.
专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案
1.证明 f′(x)=,又x∈,
则cosx<
0,∴xcosx-sinx<
0,
∴f′(x)<
0,∴f(x)在上是减函数.
2.解
(1)f′(x)=3x2-1=(x+1)(x-1),
令f′(x)>
0,则x∈和,
令f′(x)<
0,则x∈.
∴f(x)=x3-x的单调增区间为和,单调减区间为.
(2)y′=ex-1,令y′>
0,即ex-1>
则x∈(0,+∞);
令y′<
0,即ex-1<
0,则x∈(-∞,0),
∴y=ex-x+1的单调增区间(0,+∞),单调减区间为(-∞,0).
3.解 ∵函数y=f(x)=x2-lnx2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f′(x)=2x-==,
∴f′(x),f(x)的取值变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
+
f(x)
↘
↗
↗
由上表可知,函数f(x)=x2-lnx2在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增;
在区间(-∞,-1),(0,1)上单调递减.
4.解 f′(x)=2x-=.
要使f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,则f′(x)≥0在x∈[2,+∞)时恒成立,
即≥0在x∈[2,+∞)时恒成立.
∵x2>
0,∴2x3-a≥0,
∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2,+∞),y=2x3是单调递增的,
∴(2x3)min=16,∴a≤16.
当a=16时,f′(x)=≥0(x∈[2,+∞))有且只有f′
(2)=0,∴a的取值范围是(-∞,16].
5.解
(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知-1<
2是不等式3x2+2bx+c<
0的解集.
∴-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个实根,
∴-1+2=-b,(-1)×
2=,
即b=-,c=-6.
(2)∵f′(x)=3ax2+1,且f(x)有三个单调区间,
∴方程f′(x)=3ax2+1=0有两个不等的实根,
∴Δ=02-4×
1×
3a>
0,∴a<
0.
∴a的取值范围为(-∞,0).
6.审题指导利用导数证明不等式,首先要构造函数f(x)=ln(x+1)-x+x2,证明f(x)在(0,+∞)上单调增,由f(x)>
f(0)=0证得.
[规范解答]令f(x)=ln(x+1)-x+x2,(4分)
则f′(x)=-1+x=.(6分)
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(8分)
于是当x>0时,f(x)>f(0)=0,
∴当x>0时,不等式ln(x+1)>x-x2成立.(12分)
7.证明 设g(x)=x-sinx-x3,x∈,
g′(x)=1-cosx-x2=2.
∵x∈,∴0<sinx<x,
∴sin2<2,∴g′(x)<0,
∴g(x)在上单调递减,
∴g(x)<g(0)=0,∴x-sinx<x3.
8.[答案] D
[解析] 画出图像即可知y=x2存在极值f(0)=0.
9.[答案] D
[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.
f′(x)=-+=(1-)=0可得x=2.
当0<
2时,f′(x)<
0,f(x)递减,当x>
2时
f′(x)>
0,∴f(x)单调递增.所以x=2为极小值点.
对于含有对数形式的函数在求导时,不要忽视定义域.
10.[答案] B
[解析] 如y=x3,y′=3x2,y′|x=0=0,但x=0不是函数y=x3的极值点.
11.[答案] -
[解析] y′=(x+1)ex=0,x=-1.
当x<
-1时,y′<
0,当x>
-1时y′>
∴ymin=f(-1)=-
12.[答案] -1
[解析] f′(x)==.当x>
时f′(x)<
0,f(x)在(,+∞)上是递减的,当-<
时,f′(x)>
0,f(x)在(-,)上是递增的.当x=时,f()==,=<
1,不合题意.
∴f(x)max=f
(1)==,解得a=-1.
13.[答案] D
[解析] ∵f(x)的图象关于x=对称,
∴f(0)=f(),∴-b=a,
∴f(x)=asinx-bcosx=asinx+acosx=asin(x+),
∴f(-x)=asin(-x+)=asin(π-x)=asinx.
显然f(-x)是奇函数且关于点(π,0)对称,故选D.
14.[解析]
(1)由导数公式表和求导法则得,f′(x)=3x2+2ax+b,
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即得b=0.
(2)令f′(x)=0,即3x2+2ax=0,解得x=0或x=-a.依题意有-a>
因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性,
所以应有2≤-a≤4,解得-6≤a≤-3.
15.[答案] B
[解析] 设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0<
24),V′=12(24-x)(8-x).令V′=0,则在(0,24)内有x=8,故当x=8时,V有最大值.
16.[答案]
[解析] 设每批生产x台,则一年生产批.一年中库存费和生产准备费之和y=C1x+(0<
N).
y′=C1-.由y′=0及0<
N,解得x=(台).根据问题的实际意义,y的最小值是存在的,且y′=0有唯一解.故x=台是使费用最小的每批生产台数.
17.[答案] A
[解析] 设f(x)=ax2+bx+c,∵二次函数y=f(x)的图象过原点,∴c=0,∴f′(x)=2ax+b,由y=f′(x)的图象可知,2a<
0,b>
0,∴->
0,=->
0,故选A.
18.[答案] A
[解析] f(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上变化规律是减→增→减,因此f′(x)的图象在(-∞,0)上,f′(x)>
0,在(0,+∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负,故选A.
19.[答案] B
[解析] 令g(x)=2f(x)-x-1,∵f′(x)>
,
∴g′(x)=2f′(x)-1>
0,∴g(x)为单调增函数,
∵f
(1)=1,∴g
(1)=2f
(1)-1-1=0,
∴当x<
1时,g(
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