实变函数复习思考题Word文档格式.docx
- 文档编号:14247463
- 上传时间:2022-10-20
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:320.31KB
实变函数复习思考题Word文档格式.docx
《实变函数复习思考题Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实变函数复习思考题Word文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
6.设是一列开集,,则一定是( ).
A.开集;
B.闭集;
C.型集;
D.开集,也是闭集.
7.设是一族开集,,则一定是( ).
D.开集,也是闭集.
8.设是一族闭集,,则一定是( ).
C.型集;
9.设是一列闭集,,则一定是( ).
10.设是中有理数全体,则( ).
A.0;
B.;
C.1;
D.不存在.
11.关于Cantor集,下述说法不成立的是( ).
A.无内点;
B.中的点都为孤立点;
C.中的点都为聚点;
D.是闭集.
12.设是任一可测集,则().
A.是开集;
B.是闭集;
C.,存在开集,使得;
D.是型集或型集.
13.设是一列可测集合,且,则有().
A.;
C.;
14.设是一列可测集合,且,,则有().
15.设,,在上几乎处处收敛于.则().
A.在上处处收敛于;
B.在上依测度收敛于;
C.在上一致收敛于;
D.存在的子列,使得在上一致收敛于.
16.设是可测集上的可测函数,则对任意的实数,有().
A.是闭集;
B.是开集;
C.是零测集;
D.以上都不对.
17.设是定义在上的实值函数.令,,则下述哪个说法不成立的是( )
A.与都是定义上的非负函数;
B.,;
C.;
D.在上可测与都在上可测.
18.设是可测集上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中是()错误的.
A.是可测函数;
B.是可测函数;
C.若,则是可测的;
D.若,则.
19.设在可测集上,.则().
A.,;
B.,;
C.于;
20.设是可测集上的可测函数,则是( ).
A.Lebesgue可积函数;
B.在上几乎处处连续;
C.存在简单函数列使于;
21.设是可测集上的非负可测函数,则().
A.是上的连续函数;
B.是上的勒贝格可积函数;
C.是上的简单函数;
D.在上的积分确定.
22.设是可测集上的有界可测函数,则().
A.存在简单函数列使在上一致收敛于;
C.是上的黎曼可积函数;
二、填空题:
1.设,则 .
2.设,则 .
3. , .
4.设是中任意一列集合,则,.
5.设,.则.
6.设是一列集合,令,则是一列互不相交的集合,且.
7.给出与之间的一一对应关系 .
8.设,,则称是的内点是指
.
9.设,,则称是的外点是指
10.设,,则称是的聚点是指
11.设,,则称是的孤立点是指
.
12.设,,则称是的界点是指
13.设,若,则称是开集.
14.设,若,则称是闭集.
15.设是中的全部有理点,则在内的,,.
16.设,求在内的,
.
17.设表示Cantor集,则完全集;
内点;
;
18.设是度量空间,,,则是指
19.设,则的L外测度定义为:
其中.
20.设,则称是L可测的是指:
21.设,在上依测度收敛于.则存在的子列,使得在上收敛于.
22.中可测集的全体所成的集类是一代数.
23.设表示中的无理数构成的点集,则.
24.设是平面上单位正方形中坐标都是有理数的点组成的集合,则__________.
25.设是定义在可测集上的广义实值函数,则称在上是可测的是指:
26.函数是不可测函数,其中.
27.若的定义域可分解为有限个互不相交的可测集合,,且当时,,.则称是简单函数.
28.设⑴;
⑵是上一列几乎处处有限的可测函数;
⑶于,且于.则,,使得,而在上一致收敛于.
29.设是上有限的可测函数,则,存在闭子集,使在上是连续函数,且.
30.设是上的Riemann可积函数,是的不连续点全体,则_________.
31.函数在上的Riemann可积但不Lebesgue可积的.
32.设其中是Cantor集,则________.
33.设,,则;
34.设.则在上可积的充要条件是与在上.
35.设.若在上可积,则.
36.若的定义域可分解为有限个互不相交的可测集合,,且当时,,.则在上的积分定义为.
37.设是可测集上的非负可测函数,则在上的积分定义为
38.设是可测集上的可测函数,若与中至少有一个是有限数,则在上的积分定义为.
三、判断题(判断下列命题正确与否,正确的在题前的括号内填“是”,错误的在题前的括号内填“否”):
()1.任何无限集合必有可数真子集.
()2.可数个可数集合的并集是可数集.
()3.设,若,则.
()4.集合的对等关系是等价关系.
()5.可数多个可测集合的交仍是可测集合.
()6.可数多个可测集合的并仍是可测集合.
()7.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并.
()8.平面上的开集可以表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并.
()9.零测集上的任何函数均可测.
()10.任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.
()11.开集减闭集后的差集仍是开集.
()12.闭集减开集后的差集仍是闭集.
()13.设为的可测子集,,则是一定含有一个区间.
()14.若为可测集,且,则一定是可数集或有限集.
()15.若为的无界可测子集,则的测度必为.
()16.设为可数集,为有限集.则为可数集.
()17.若是有界可测集,则.
()18.两个简单函数的代数和仍是简单函数.
()19.两个简单函数的积仍是简单函数.
()20.设为的可测子集,若,则.
()21.实直线上至少含有一个内点的集的外测度一定大于零.
()22.是有限集或可数集.
()23.由直线上互不相交的开区间所成之集是可数集.
()24.任何集合上的常量函数均可测.
()25.若开集是开集的真子集,则.
()26.设,是可测集上的可测函数,则也是上的可测函数.
()27.任何集合上的连续函数一定是可测函数.
()28.函数的几乎处处相等关系是等价关系.
()29.设,是可测集上的可测函数,则也是上的可测函数.
()30.在上可测在上可测.
()31.若是可测集上的L可积函数,则是上的有界函数.
()32.零测集上的任何函数都可积,其积分值为零.
()33.设是可测集上的可积函数,于,则也是上的可积函数,且.
()34.设,是可测集上的可积函数,则也是上的可积函数.
四、证明题:
1.证明:
⑴;
⑵.
2.设是定义在上的实函数.则
⑴;
⑵;
⑶;
⑷.
3.证明:
由直线上某些互不相交的开区间作为集的元素,则至多是可数集.
4.证明:
若是有限集或可数集,是可数集,则是可数集.
5.证明闭包与开核之间的关系:
⑵.
6.证明:
每个闭集必是可数个开集的交集;
每个开集必是可数个闭集的和集.
7.设是上的实值连续函数,则,是一开集,而总是一闭集.
8.证明:
为上的连续函数,集合与都是闭集.
9.证明:
集合可测的充要条件是对有.
10.设.若,存在开集,使得,且,则是可测集.
11.设,则存在型集,使得,且.
12.证明:
可数点集的外测度为零.
13.若,则可测.
14.设为可测集,证明:
.
15.设可测,,则对任意可测集,有.
16.设,为任一点集,则有.
17.若为任意二点集,且其中之一的外侧度有限,则有.
18.若,则有
19.设可测集,则上的单调函数是可测函数.
20.可测集上的任一连续函数是可测函数.
21.证明:
若可测,则,恒有开集及闭集,使,而,
22.设,若,存在闭集,使得,证明是可测集.
23.设与是上的可测函数,证明是可测集.
24.试证,黎曼函数
是上的可测函数.
25.设,是上几乎处处有限的可测函数,证明:
存在上的一列连续函数,使得于.
26.设,是上几乎处处有限的可测函数列,在上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数,证明:
27.设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:
收敛于.
28.设是可测集.若,存在闭子集,使得在上是连续函数,且.则是上有限的可测函数.
29.设在上,而在上几乎处处成立,,则.
30.设,几乎处处有限的可测函数列和,,分别依测度收敛于和,证明:
31.设为可测集,为上的非负可测函数.若,.
32.设为可测集,为上的非负可测函数.若,则于.
33.设为上的可积函数,如果对任何有界可测函数都有,则
34.设为可测集,为上的非负可测函数.若,则于.
35.设为可测集,若在上积分确定,且于,则在上也积分确定且.
36.设为可测集上的非负简单函数,是的一列可测子集,满足且,即,则.
37.设为可测集,若在上可积,则也在上可积且
38.设为可测集,和都是上非负可测函数,和都是非负实数,则
39.设为可测集,在上可积.若是的两个互不相交的可测子集,则.
40.设为可测集,,则:
,使得对任何可测集,只要,就有,即对任何可测子集,有.
41.设为在上的非负可测函数列.若,则.
42.设,为有限的可测函数列.证明:
43.设是上的一个非负实函数,若,在上R可积且R反常积分收敛,则在上L可积且的.
44..求证:
45.若,,试证.
五、计算题:
1.设,,,求集列的上限集与下限集.
2.设问在上黎曼可积吗?
勒贝格可积吗?
若可积,则计算其积分值.
3..
4..
5..
6..
7.设,是定义在可测集上的可测函数,且于,若可积,则也可积,并由此计算这里
8..
9.计算,其中
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 复习 思考题