考研数学三试题解析超详细版Word文档下载推荐.docx

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（7）函数

在下列哪个区间有界.

（A）（1,0）.（B）（0,1）.（C）（1,2）.（D）（2,3）.[]

（8）设f（x）在（,+）有定义，且

，

（A）x=0必是g（x）的第一类间断点.（B）x=0必是g（x）的第二类间断点.

（C）x=0必是g（x）的连续点.

（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[]

（9）设f（x）=|x（1x）|，则

（A）x=0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.

（B）x=0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.

（C）x=0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.

（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[]

（10）设有下列命题：

（1）若

收敛，则

收敛.

（2）若

（3）若

发散.

（4）若

，

都收敛.

则以上命题中正确的是

（A）

（1）

（2）.（B）

（2）（3）.（C）（3）（4）.（D）

（1）（4）.[]

（11）设

在[a,b]上连续，且

，则下列结论中错误的是

（A）至少存在一点

，使得

>

f（a）.

（B）至少存在一点

f（b）.

（C）至少存在一点

（D）至少存在一点

=0.[]

（12）设

阶矩阵

与

等价,则必有

（A）当

时,

.（B）当

（C）当

.（D）当

.[]

（13）设

的伴随矩阵

若

是非齐次线性方程组

的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组

的基础解系

（A）不存在.（B）仅含一个非零解向量.

（C）含有两个线性无关的解向量.（D）含有三个线性无关的解向量.[]

（14）设随机变量

对给定的

数

满足

若

则

等于

（A）

.（B）

.（C）

.（D）

三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分8分）

求

（16）（本题满分8分）

，其中D是由圆

所围成的

平面区域（如图）.

（17）（本题满分8分）

设f（x）,g（x）在[a,b]上连续，且满足

，x[a,b），

证明：

（18）（本题满分9分）

设某商品的需求函数为Q=1005P，其中价格P（0,20），Q为需求量.

（I）求需求量对价格的弹性

（

0）；

（II）推导

（其中R为收益），并用弹性

说明价格在何围变化时，

降低价格反而使收益增加.

（19）（本题满分9分）

设级数

的和函数为S（x）.求：

（I）S（x）所满足的一阶微分方程；

（II）S（x）的表达式.

（20）（本题满分13分）

设

试讨论当

为何值时,

（Ⅰ）

不能由

线性表示;

（Ⅱ）

可由

唯一地线性表示,并求出表示式;

（Ⅲ）

线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.

（21）（本题满分13分）

设

.

（Ⅰ）求

的特征值和特征向量;

（Ⅱ）求可逆矩阵

使得

为对角矩阵.

（22）（本题满分13分）

为两个随机事件,且

令

求

（Ⅰ）二维随机变量

的概率分布;

的相关系数

;

的概率分布.

（23）（本题满分13分）

设随机变量

的分布函数为

其中参数

.设

为来自总体

的简单随机样本,

（Ⅰ）当

时,求未知参数

的矩估计量;

（Ⅱ）当

的最大似然估计量;

（Ⅲ）当

的最大似然估计量.

2016年考研数学（三）真题解析

，则a=

，b=

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.

【详解】因为

，且

，所以

，得a=1.极限化为

，得b=4.

因此，a=1，b=4.

【评注】一般地，已知

＝A，

（1）若g（x）0，则f（x）0；

（2）若f（x）0，且A0，则g（x）0.

（2）设函数f（u,v）由关系式f[xg（y）,y]=x+g（y）确定，其中函数g（y）可微，且g（y）0，

则

【分析】令u=xg（y），v=y，可得到f（u,v）的表达式，再求偏导数即可.

【详解】令u=xg（y），v=y，则f（u,v）=

所以，

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：

x1=t，再利用对称区间上奇偶函数

的积分性质即可.

【详解】令x1=t，

＝

【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.

（4）二次型

的秩为2.

【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换

或配方法均可得到答案.

【详解一】因为

于是二次型的矩阵为

由初等变换得

从而

即二次型的秩为2.

【详解二】因为

其中

所以二次型的秩为2.

（5）设随机变量

【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.

【详解】由于

故

【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.

【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.

【详解】因为

故应填

【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.

（A）（1,0）.（B）（0,1）.（C）（1,2）.（D）（2,3）.[A]

【分析】如f（x）在（a,b）连续，且极限

存在，则函数f（x）

在（a,b）有界.

【详解】当x0,1,2时，f（x）连续，而

所以，函数f（x）在（1,0）有界，故选（A）.

【评注】一般地，如函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f（x）在闭区间[a,b]上有界；

如函数f（x）在开区间（a,b）连续，且极限

存在，则函数f（x）在开区间（a,b）有界.

（8）设f（x）在（,+）有定义，且

（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]

【分析】考查极限

是否存在，如存在，是否等于g（0）即可，通过换元

可将极限

转化为

=a（令

），又g（0）=0，所以，

当a=0时，

，即g（x）在点x=0处连续，当a0时，

，即x=0是g（x）的第一类间断点，因此，g（x）在点x=0处的连续性

与a的取值有关，故选（D）.

【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.

（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[C]

【分析】由于f（x）在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，

考查f（x）在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.

【详解】设0<

<

1，当x（,0）（0,）时，f（x）>

0，而f（0）=0，所以x=0是f（x）

的极小值点.

显然，x=0是f（x）的不可导点.当x（,0）时，f（x）=x（1x），

当x（0,）时，f（x）=x（1x），

，所以（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.

故选（C）.

【评注】对于极值情况，也可考查f（x）在x=0的某空心邻域的一阶导数的符号来判断.

（10）设有下列命题：

（A）

（1）

（2）.（B）

（2）（3）.（C）（3）（4）.（D）

（1）（4）.[B]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.

【详解】

（1）是错误的，如令

，显然，

分散，而

（2）是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.

（3）是正确的，因为由

可得到

不趋向于零（n），所以

（4）是错误的，如令

都发散，而