初中数学几何最值专题14费马点全等篇最全修正版Word文档格式.docx
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小伟是这样思考的:
利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°
得到△A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
(1)请你回答:
AP的最大值是 。
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.
提示:
要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把△ABP绕B点逆时针旋转60,得到△A′BP′.
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).
(3)解析提示
针对训练
1、P等腰直角△ABC内一点,且BC=,则PA+PB+PC的最小值是 。
2、如图,在直角三角形△ABC内部有一动点P,∠BAC=90°
,连接PA,PB,PC,若AC=6,AB=8,求PA+PB+PC的最小值 。
3、如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l,l的最小值为 。
4、如图,已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+,则这个正方形的边长为 。
5、已知点P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫△ABC的费马点(Fermatpoint).已经证明:
在三个内角均小于120°
的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°
时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF= 。
6、如图P是△ABC所在平面上一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
,则点P就叫做费马点.
(1)当△ABC是等边三角形时,作尺规法作出△ABC费马点.(不要求写出作法,只要保留作图痕迹)
(2)已知:
△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°
,AC=BC=.四边形CDPE是正方形,CD在AC上,CE在BC上,P是△ABC的费马点.求:
P点到AB的距离.
(3)已知:
锐角△ABC,分别以AB,AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P点.
①求∠CPD的度数;
②求证:
P点为△ABC的费马点.
7、如图1,P是锐角△ABC所在平面上一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
,则点P就叫做△ABC费马点.
(1)当△ABC是边长为4的等边三角形时,费马点P到BC边的距离为 .
(2)若点P是△ABC的费马点,∠ABC=60°
,PA=2,PC=3,则PB的值为 .
(3)如图2,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′,连接BB′.求证:
BB′过△ABC的费马点P.
8、如图
(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)如点P为锐角△ABC的费马点.且∠ABC=60°
,PA=3,PC=4,求PB的长.
(2)如图
(2),在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′.求证:
BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
(3)已知锐角△ABC,∠ACB=60°
,分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,BCE,ACF,请找出△ABC的费马点,并探究S△ABC与S△ABD的和,S△BCE与S△ACF的和是否相等.
9、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为+1时,求正方形的边长.
10、小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º
,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
小华是这样思考的:
要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º
,得到△EDC,连接PD、BE,则BE的长即为所求.
(1)请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º
,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);
②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.
11、背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.
如图①,当△ABC三个内角均小于120°
时,费马点P在△ABC内部,此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
,此时,PA+PB+PC的值最小.
解决问题:
(1)如图②,等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
基本运用:
(2)请你利用第
(1)题的解答思想方法,解答下面问题:
如图③,△ABC中,∠CAB=90°
,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°
,判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明;
能力提升:
(3)如图④,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=1,∠ABC=30°
,点P为Rt△ABC的费马点,连接AP,BP,CP,求PA+PB+PC的值.
12、问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转,往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中,相互之间的关系清楚明了,从而将求解问题灵活转化.
问题提出:
如图1,△ABC是边长为1的等边三角形,P为△ABC内部一点,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
方法分析:
通过转化,把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折),再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直).
问题解决:
如图2,将△BPA绕点B逆时针旋转60°
至△BP'
A'
,连接PP'
、A'
C,记A′C与AB交于点D,易知BA'
=BA=BC=1,∠A'
BC=∠A'
BA+∠ABC=120°
.由BP'
=BP,∠P'
BP=60°
,可知△P'
BP为正三角形,有PB=P'
P.
故.因此,当A'
、P'
、P、C共线时,PA+PB+PC有最小值是.
学以致用:
(1)如图3,在△ABC中,∠BAC=30°
,AB=4,CA=3,P为△ABC内部一点,连接PA、PB、PC,则PA+PB+PC的最小值是 .
(2)如图4,在△ABC中,∠BAC=45°
,,P为△ABC内部一点,连接PA、PB、PC,求的最小值.
(3)如图5,P是边长为2的正方形ABCD内一点,Q为边BC上一点,连接PA、PD、PQ,求PA+PD+PQ的最小值.
课堂精炼
1、在锐角△ABC内求一点P,使PA+PB+PC为最短值。
2、如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=6,P为矩形内一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值是 。
3、在△ABC中,AB=,∠ABC=45°
∠BAC=75°
P为△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值是 。
。
4、如图四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是 。
①若菱形ABCD的边长为1,则AM+CM的最小值1;
②△AMB≌△ENB;
③S四边形AMBE=S四边形ADCM;
④连接AN,则AN⊥BE;
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时,菱形ABCD的边长为2.
5、问题提出
(1)如图①,已知△OAB中,OB=3,将△OAB绕点O逆时针旋转90∘得△OA′B′,连接BB′.则BB′=___;
问题探究
(2)如图②,已知△ABC是边长为的等边三角形,以BC为边向外作等边△BCD,P为△ABC内一点,将线段CP绕点C逆时针旋转60∘,点P的对应点为点Q.
①求证:
△DCQ≌△BCP;
②求PA+PB+PC的最小值;
问题解决
(3)如图③,某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,顶点A,D为两个出口,现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B,C两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道PA,PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元,当M,P建在何处时,修建专用车道的费用最少?
最少费用为多少?
(结果保留整数)
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