函数的单调性pptWord文档下载推荐.docx

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1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数

变化时，函数值有什么变化规律？

的图象，并且观察自变量

（1）函数

在整个定义域内y随x的增大而增大；

函数

在整

个定义域内y随x的增大而减小．

（2）函数

在

上y随x的增大而增大，在

上y随x的增大而减小．

（3）函数

在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述（增函数、减函数）．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：

能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，

在该区间上为增函数；

如果函数我们说函数

在该区间上为减函数．

教师指出：

这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识

下图是函数和减函数吗？

的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：

如何从解析式的角度说明

2

为增函数？

（1）在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1

（2）仿

（1），取很多组验证均满足，所以（3）任取

，所以

因为为增函数．

为增函数．

即

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量

．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

3．抽象思维，形成概念

你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

（1）板书定义

（2）巩固概念判断题：

①②若函数③若函数函数．

在区间

和（2,3）上均为增函数，则函数

在区间（1,3）上为增

④因为函数在区间

上是减函数.

上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域内某个区间（如二次函数），也可以根本不单调（如常函数）．

③函数在定义域内的两个区间A,b上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：

如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

篇二：

函数单调性的判定方法

1.判断具体函数单调性的方法

1.1定义法

一般地，设f为定义在D上的函数。

若对任何x1、x2?

D，当x1?

x2时，总有

（1）f（x1）?

f（x2），则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f（x1）?

f（x2）时，称f为D上的严格增函数；

（2）f（x1）?

f（x2）,则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f（x1）?

f（x2）时，称f为D上的严格减函数。

利用定义来证明函数y?

f（x）在给定区间D上的单调性的一般步骤：

（1）设元，任取x1,x2?

D且x1?

x2；

（2）作差f（x1）?

f（x2）；

（3）变形（普遍是因式分解和配方）；

（4）断号（即判断f（x1）?

f（x2）差与0的大小）；

（5）定论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

例1.用定义证明f（x）?

?

x3?

a（a?

R）在（?

?

）上是减函数。

证明：

设x1,x2?

（?

），且x1?

x2，则

33332f（x1）?

f（x2）?

x1?

a?

x2?

a）?

（x2?

x1）（x12?

x1x2）.

x1x2?

（x1?

由于x12?

x2

x2232

）?

0，x2?

024

则f（x1）?

x1x2）?

0，即f（x1）?

f（x2），所以f（x）在?

上是减函数。

例2.用定义证明函数f（x）?

x?

k

（k?

0）在（0,?

）上的单调性。

x

设x1、x2?

（0,?

f（x1）?

kkkk

x2）?

）

x1x2x1x2

1

k（

x1x?

x2xx?

k

（1）?

x212），x1x2x1x2x1x2

又0?

x2所以x1?

0，x1x2?

0，

当x1、x2?

（0,k]时x1x2?

k?

0?

0，此时函数f（x）为减函数；

（k,?

）时x1x2?

0，此时函数f（x）为增函数。

综上函数f（x）?

0）在区间（0,k]内为减函数；

在区间（k,?

）内为增函数。

此题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于

k与0的大小关系（k?

0）不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x1?

x2时，容易得出

f（x1）与f（x2）大小关系的函数。

在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

1.2函数性质法

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。

函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。

对于一些常见的简单函数的单调性如下表：

一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：

⑴．f（x）与f（x）+c单调性相同。

（c为常数）

⑵．当k?

0时，f（x）与kf（x）具有相同的单调性；

当k?

0时，f（x）与kf（x）具有相反的单调性。

⑶．当f（x）恒不等于零时，f（x）与

具有相反的单调性。

f（x）

⑷．当f（x）、g（x）在D上都是增（减）函数时，则f（x）＋g（x）在D上是增（减）函数。

⑸．当f（x）、g（x）在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f（x）g（x）在D上是增（减）函

数；

当f（x）、g（x）在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f（x）g（x）在D上是减（增）函数。

⑹．设y?

f（x）,x?

D为严格增（减）函数，则f必有反函数f?

1，且f?

1在其定义域f（D）上也是严

格增（减）函数。

例3.判断f（x）?

log2x3?

2x?

1（x2?

1）?

5的单调性。

解:

函数f（x）的定义域为（0,?

），由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数，因为2x?

1?

0,x2?

0由性质⑸可得2x?

1）也是增函数；

由单调函数的性质⑷知再由性质⑴知函数f（x）?

1）+5在（0,?

）为单调x?

log2x为增函数，

3

递增函数。

a

（a?

b?

0），判断f（x）在其定义域上的单调性。

bx?

函数f（x）?

的定义域为（?

b）?

b,?

）.

b

先判断f（x）在（?

）内的单调性，由题可把f（x）?

转化为f（x）?

，又a?

0故

1a?

ba?

0由性质⑶可得为减函数；

由性质⑵可得为减函数；

再由性质⑴可得f（x）?

例4.设函数f（x）?

在（?

）内是减函数。

同理可判断f（x）在（?

b）内也是减函数。

故函数f（x）?

函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。

1.3图像法

用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。

根据单调函数的图像特征，若函数f（x）的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f（x）在区间I上是增函数；

若函数f（x）图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f（x）在区间I上是减函数。

、

例5.如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数y?

f（x）的图像，试判断其单调性。

解：

由图像可知：

函数y?

f（x）的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数y?

f（x）在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y?

f（x）在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；

f（x）在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数y?

f（x）在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。

例6.利用函数图像判断函数?

f（x）?

1；

g（x）?

2x；

h（x）?

1在[-3,3]上的单调性。

分析：

观察三个函数，易见h（x）?

g（x），作图一般步骤为列表、描点、作图。

首先作出

1和g（x）?

2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h（x）?

1的图像，

4

最后利用图像判断函数h（x）?

1的单调性。

作图像1-2如下所示：

由以上函数图像得知函数?

1在闭区间[-3,3]上是单