版高考数学考前三个月复习冲刺专题6第26练完美破解立体几何证明题理Word下载.docx
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证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.
变式训练1 (2015·
广东)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
(1)证明:
BC∥平面PDA;
(2)证明:
BC⊥PD;
(3)求点C到平面PDA的距离.
题型二 空间中的垂直问题
例2 如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:
(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
点评
(1)证明线面垂直的常用方法:
①利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直;
②利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直;
③利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(2)证明面面垂直的方法:
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线来解决.
变式训练2 (2014·
广东)如图
(1),四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图
(2)折叠,折痕EF∥DC.其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
CF⊥平面MDF;
(2)求三棱锥M-CDE的体积.
题型三 空间中的平行、垂直综合问题
例3 (2015·
山东)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:
平面BCD⊥平面EGH.
点评
(1)立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得.
(2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用.
(3)平行关系往往用到三角形的中位线,垂直关系往往用到三角形高线、中线.
变式训练3 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.
平面EFG∥平面PMA;
(2)求证:
平面EFG⊥平面PDC;
(3)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.
高考题型精练
1.(2015·
广东)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
2.(2015·
玉溪质检)已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
3.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AC∩EF=G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为P,则在四面体
P-AEF中必有( )
A.AP⊥△PEF所在平面B.AG⊥△PEF所在平面
C.EP⊥△AEF所在平面D.PG⊥△AEF所在平面
4.(2015·
烟台模拟)已知α、β是两个不同的平面,给出下列四个条件:
①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;
②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;
③存在两条平行直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;
④存在两条异面直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,可以推出α∥β的是( )
A.①③B.②④
C.①④D.②③
5.(2014·
浙江)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
6.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
7.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:
①PB⊥AE;
②平面ABC⊥平面PBC;
③直线BC∥平面PAE;
④∠PDA=45°
.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).
8.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.则B1C与AB的位置关系为________.
9.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
10.(2014·
山东)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
AP∥平面BEF;
BE⊥平面PAC.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
12.(2014·
四川)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.
(1)若AC⊥BC,证明:
直线BC⊥平面ACC1A1;
(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?
请证明你的结论.
答案精析
例1 证明
(1)如图,连接SB,
∵E、G分别是BC、SC的中点,
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1,
EG⊄平面BDD1B1,
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD,
∵F、G分别是DC、SC的中点,∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,
∴FG∥平面BDD1B1,由
(1)知,
EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,
FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
变式训练1
(1)证明 因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD,因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,
所以BC∥平面PDA.
(2)证明 因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD,因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PDC,因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.
(3)解 如图,取CD的中点E,连接AC和PE.因为PD=PC,所以PE⊥CD,在Rt△PED中,PE===.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD,由
(2)知:
BC⊥平面PDC,由
(1)知:
BC∥AD,所以AD⊥平面PDC,因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥CPDA=V三棱锥PACD,
所以S△PDA·
h=S△ACD·
PE,
即h===,
所以点C到平面PDA的距离是.
例2 证明
(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.
∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF=DE.
∵AB⊥平面ACD,
DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB.
又AB=DE,∴GF=AB.
∴四边形GFAB为平行四边形,
∴AF∥BG.
∵AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
变式训练2
(1)证明 因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形,CD⊥AD,PD与CD交于点D,
所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD,
所以AD⊥CF,即MD⊥CF.
又MF⊥CF,MD∩MF=M,
所以CF⊥平面MDF.
(2)解 因为PD⊥DC,BC=2,CD=1,∠PCD=60°
,
所以PD=,由
(1)知FD⊥CF,
在Rt△DCF中,CF=CD=.
过点F作FG⊥CD交CD于点G,得FG=FCsin60°
=×
=,
所以DE=FG=,故ME=PE=-=,
所以MD===.
S△CDE=DE·
DC=×
×
1=.
故VM-CDE=MD·
S△CDE=×
=.
例3 证明
(1)方法一 如图,连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEFABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
则M为CD的中点,
又H为BC的中点,
所以HM∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
方法二 在三棱台DEFABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,
可得BH∥EF,BH=EF,
所以四边形HBEF为平行四边形,
可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,
H为BC的中点,所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,AB∩BE=B,
所以平面FGH∥平面ABED.
又因为BD⊂平面ABED,
所以B
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